संख्याओं के साथ खेलना

NCERT Solutions

प्रश्नावली. 3.3 Part 2

प्रश्न 3: विभाज्यता की जाँच की नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में सी कौन सी संख्याएँ 6 से विभाज्य है:

(a) 297144

उत्तर: 297144: यह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।
जो संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य वो 6 से भी विभाज्य होती है।

(b) 1258

उत्तर: 1258: यह संख्या 2 से तो विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं, इसलिए यह संख्या 6 से भी विभाज्य नहीं होगी।

(c) 4335

उत्तर: 4335: यह संख्या 3 से तो विभाज्य है लेकिन 2 से नहीं, इसलिए यह संख्या 6 से विभाज्य नहीं होगी।

(d) 61233

उत्तर: 61233: यह संख्या 3 से तो विभाज्य है लेकिन 2 से नहीं, इसलिए यह संख्या 6 से विभाज्य नहीं होगी।

(e) 901352

उत्तर: 901352: यह संख्या 2 से तो विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं, इसलिए यह संख्या 6 से विभाज्य नहीं होगी।

(f) 438750

उत्तर: 438750: यह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।

(g) 1790184

उत्तर: 1790184: यह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।

(h) 12583

उत्तर: 12583: यह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य नहीं है, तो यह संख्याएँ 6 से विभाज्य नहीं होगी।

(i) 639210

उत्तर: 639210: यह संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या 6 से भी विभाज्य होगी।

(j) 17852

उत्तर: 17582: यह संख्या 2 से तो विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं, इसलिए यह संख्या 6 से विभाज्य नहीं होगी।

प्रश्न 4: विभाज्यता की जाँच की नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में सी कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य है:

(a) 5445

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 4 = 9
सम स्थानों के अंकों का योग = 4 + 5 = 9
दोनों के योग का अंतर = 9 – 9 = 0
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

(नोट: यदि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाज्य हो, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।)

(b) 10824

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 1 + 8 + 4 = 13
सम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 0 = 2
दोनों के योग का अंतर = 13 - 2 = 11
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

(c) 7138965

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 9 + 3 + 7 = 24
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 8 + 1 = 15
दोनों के योग का अंतर = 24 – 15 = 9
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 9 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य नहीं होगी।

(d) 70169308

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 3 + 6 + 0 = 17
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 9 + 1 + 7 = 17
दोनों के योग का अंतर = 17 - 17 = 0
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

(e) 10000001

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 1 + 0 + 0 + 0 = 1
सम स्थानों के अंकों का योग = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
दोनों के योग का अंतर = 1 - 1 = 0
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

(f) 901153

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग = 3 + 1 + 0 = 4
सम स्थानों के अंकों का योग = 5 + 1 + 9 = 15
दोनों के योग का अंतर = 15 - 4 = 11
उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 है, तो यह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

प्रश्न 5: निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो;

(a) - 6724

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर किसी संख्या के अंकों का योग 3 का गुणज हो ,तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है।
इसलिए, सबसे छोटा अंक 2 लगाने पर: 26724 = 2 + 6 + 7 + 2 + 4 = 21
सबसे बड़ा अंक 8 लगाने पर 86724 = 8 + 6 + 7 + 2 + 4 = 27
दोनों संख्या 3 से विभाज्य होगी।

(b) 4765-2

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर किसी संख्या के अंकों का योग 3 का गुणज हो,तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है।
इसलिए, सबसे छोटा अंक 0 लगाने पर - 476502 = 4 + 7 + 6 + 5 + 0 + 2 = 24
सबसे बड़ा अंक 9 लगाने पर 476592 = 4 + 7 + 6 + 5 + 9 + 2 = 33
दोनों संख्या 3 से विभाज्य होगी।

प्रश्न 6: निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे ऐसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो:

(a) 92-389

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर यदि किसी संख्याओं के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

इसलिए, अंक 8 डालने पर 928389
विषम स्थानों के अंकों का योग = 9 + 3 + 2 = 14
सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 8 + 9 = 25
अब दोनों के योग का अंतर = 25 - 14 = 11
तो ये संख्या 11 से विभाज्य होगी।

(b) 8-9484

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर यदि किसी संख्याओं के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

इसलिए, अंक 6 डालने पर 869484
सम स्थानों के अंकों का योग = 6 + 4 + 4 = 14
विषम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 9 + 8 = 25
अब दोनों संख्याओं के योग का अंतर = 25 - 14 = 11
तो ये संख्या 11 से विभाज्य होगी।