त्रिकोणमिति

अभ्यास 8.4 Part 5

(v) `(cosA-sinA+1)/(cosA+sinA-1)=text(cosec)A+cotA`

सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A का प्रयोग करते हुए।

उत्तर:

`LHS: (cosA-sinA+1)/(cosA+sinA-1)`

अंश और हर को sin A से भाग देने पर:

`((cosA-sinA+1)/(sinA))/((cosA+sinA-1)/(sinA))`

`=((cosA)/(sinA)-(sinA)/(sinA)+(1)/(sinA))/ ((cosA)/(sinA)+(sinA)/(sinA)-(1)/(sinA))`

`=(cotA-1+text(cosec)A)/(cotA+1-text(cosec)A)`

अंश और हर [cotA – (1-cosecA)] से गुणा करने पर:

`=(cotA-1+text(cosec)A)/(cotA+1-text(cosec)A)xx((cotA)-(1-text(cosec)A))/((cotA)-(1-text(cosec)A)`

`=((cotA)-(1-text(cosec)A))/((cotA)+(1-text(cosec)A))xx(((cotA)-(1-text(cosec)A))/( ((cotA)-(1-text(cosec)A))`

`=([(cotA)-(1-text(cosec)A)]^2)/((cotA)^2-(1-text(cosec)A)^2)`

`=(cot^2+(1-text(cosec)A)^2-2xx\cotA(1-text(cosec)A))/(cot^2A-(1+text(cosec)^2A-2text(cosec)A))`

`=(cot^2A+1+text(cosec)^2A-2text(cosec)A-2cotA+2cotA.text(cosec)A)/(cot^2A-1-text(cosec)^2A+2text(cosec)A)`

`=((cot^2A+1)+text(cosec)^2A-2text(cosec)A-2cotA+2cotA.text(cosec)A)/(-(cot^2A-+text(cosec)^2A)-1+2text(cosec)A)`

सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot²A, का प्रयोग करने पर:

`(text(cosec)^2A+text(cosec)^2A-2text(cosec)A-2cotA+2cotA.text(cosec)A)/(-1-1+2text(cosec)A)`

`=(2text(cosec)^2A+2cotA.text(cosec)A-2cotA-2text(cosec)A)/(-2+2text(cosec)A)`

`=(2text(cosec)A(text(cosec)A+cotA)-2(cotA+text(cosec)A))/(2text(cosecA-2)`

`=((2text(cosec)A-2)(text(cosec)A+cotA))/(2text(cosec)A-2)`

`=text(cosec)A+cotA=RHS`

(vi) `sqrt((1+sinA)/(1-sinA))=secA+tanA`

उत्तर:

`LHS: sqrt((1+sinA)/(1-sinA))`

`=sqrt((1+sinA)/(1-sinA)xx(1+sinA)/(1+sinA))`

`=sqrt(((1+sinA)^2)/(1-sin^2A))`

`=sqrt(((1+sinA)^2)/(cos^2A))`

`=(1+sinA)/(cosA)`

`=(1)/(cosA)+(sinA)/(cosA)`

`=secA+tanA=RHS`