वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.1

प्रश्न1: निम्नलिखित संख्याओं का HCF जानने के लिये यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।

प्रश्न(a): 135 और 225

उत्तर: मान लीजिए कि 225 = a और 135 = b

यहाँ पर इस समीकरण का प्रयोग करते हैं जिसमें `a = bq + r`

जहाँ `r ≤ 0 < b`

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`225 = 135 xx 1 + 90` जहाँ `r = 90` है

अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने के लिये मान लीजिए कि 135 = a और 90 = b

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`135 = 90 xx 1 + 45` जहाँ `r = 45` है

अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने के लिये मान लीजिए कि 90 = a और 45 = b

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`90 = 45 xx 2 + 0`

यहाँ पर r = 0 मिलता है।

इसलिए HCF = 45

प्रश्न(b): 196 और 38220

उत्तर: मान लीजिए कि 38220 = a और 196 = b

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`38220 = 196 xx 195 + 0`

यहाँ पर `r = 0` मिलता है।

इसलिए HCF = 196

प्रश्न(c): 867 और 255

उत्तर: मान लीजिए कि 867 = a और 255 = b

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`867 = 255 xx 3 + 102` जहाँ `r = 102` है।

अब मान लीजिए कि 255 = a और 102 = b

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है;

`255 = 102 xx 2 + 51` जहाँ `r = 51` है।

अब मान लीजिए कि 102 = a और 51 = b है।

तो निम्नलिखित समीकरण मिलता है।

`102 = 51 xx 2 + 0`

यहाँ पर r = 0 मिलता है।

इसलिए HCF = 51

प्रश्न2: दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक `6q + 1`, या `6q + 3`, या `6q + 5` के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

उत्तर: मान लीजिए कि ‘a’ कोई पॉजिटिव पूर्णांक संख्या है और ‘b = 6’.

यहाँ पर इस समीकरण का प्रयोग करते हैं जिसमें `a = 6q + r`

जहाँ `r ≤ 0 < b`

अब r = 0 मान लेने पर, `a = 6q + 0 = 6q`
r = 1 मान लेने पर, `a = 6q +1`
r = 2 मान लेने पर, `a = 6q + 2`
r = 3 मान लेने पर, `a = 6q + 3`
r = 4 मान लेने पर, `a = 6q + 4`
r = 5 मान लेने पर, `a = 6q + 5`

इस तरह, `a = 6q` or, `6q +1` or, `6q + 2` or, `6q + 3` or, `6q + 4` या `6q +5` हो सकता है।

लेकिन यहाँ पर, `6q`, `6q + 2`, `6q +4` सम पूर्णांक संख्याएँ हैं।

इसलिये, `6q + 1` or, `6q + 3` or, `6q + 5` विषम और धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं।

प्रश्न3: किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

उत्तर: स्तंभों की संख्या ज्ञात करने के लिये हमें 616 और 32 का HCF निकालना होगा।

मान लीजिए, a = 616 और b = 32

इसलिये यूक्लिड का डिविजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने से;

`616 = 32 xx 19 + 8`, जहाँ `r = 8` है।

अब, `32 = 8 xx 2 + 0`, जहाँ `r = 0` है।

इसलिये HCF = 8

इसलिये स्तंभों की संख्या = 8

प्रश्न4: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिये 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

उत्तर: इसके लिये सबसे छोटी संख्या से शुरु करते हैं जो कि एक वर्ग है। ऐसी संख्या 4 है।

`4 = 3 + 1 = 3m + 1`
अब अगली संख्या 9 है।
`9 = 3 xx 3 = 3m`
अब अगली संख्या 16 है।
`16 = 3 xx 5 + 1 = 3m + 1`
अब अगली संख्या 25 है।
`25 = 3 xx 8 + 1 = 3m + 1`

इन उदाहरणों से यह पता चलता है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिये 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

प्रश्न5: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m +1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

उत्तर: इसके लिये सबसे छोटी संख्या से शुरु करते हैं जो कि एक घन है। ऐसी संख्या 8 है।

`8 = 9 xx 0 + 8 = 9m + 8`
अब अगली संख्या 27 है।
`27 = 9 xx 3 = 9m`
अब अगली संख्या 64 है।
`64 = 9 xx 7 + 1 = 9m + 1`

इन उदाहरणों से पता चलता है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m +1 या 9m + 8 के रूप का होता है।