वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.3

प्रश्न1: सिद्ध कीजिए कि `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर: सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि `sqrt5` एक परिमेय संख्या है।
ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
`sqrt5 = a/b`
या, `bsqrt5 = a`

दोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरण मिलता है;
`5b^2 = a^2`
इसका मतलब है कि a² 5 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 5 से डिविजिबल होगा।
लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 5 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है।
यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि `bsqrt5` प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है।
इसलिए एक `bsqrt5` अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

प्रश्न2: सिद्ध कीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर: मान लीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
`3 + 2sqrt5 = a/b`
`2sqrt5 = a/b – 3`
चूंकि a और b परिमेय संख्या हैं, इसलिए `a/b – 3` भी एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए `2sqrt5` एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन यह इस बात का विरोधाभाषी है कि `2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है। ऐसा इसलिए हुआ कि हमने इसे गलती से परिमेय संख्या माना था।
इसलिए `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

प्रश्न3: सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

प्रश्न(a): `1/(sqrt2)

उत्तर: मान लीजिए कि `1/(sqrt2)` एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
`1/(sqrt2) = a/b`
या, `asqrt2 = b`
दोनों ओर वर्ग करने पर;
`2a^2 = b^2`
इसका मतलब है कि a² 2 से भाज्य है इसलिए a भी 2 से भाज्य है।

यह हमारे पहले मानी हुई बात कि a और b कोप्राइम हैं का विरोधाभाषी है क्यों और का एक कॉमन फैक्टर 2 है।
यह हमारी उस मानी हुई बात का भी विरोधाभाषी है कि `1/(sqrt2)` एक परिमेय संख्या है।
इसलिए `1/(sqrt2)` एक अपरिमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

प्रश्न(b): `7sqrt5`

उत्तर: मान लीजिए कि `7sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
`7sqrt5 = a/b`
या, `a7sqrt5 = b`

दोनों तरफ वर्ग करने पर;
`245a^2 = b^2`
इसका मतलब है कि `a^2\ 245` से भाज्य है इसलिए a भी 245 से भाज्य है।
यह हमारे पहले मानी हुई बात कि a और b कोप्राइम हैं का विरोधाभाषी है क्यों और का एक कॉमन फैक्टर 245 है।
यह हमारी उस मानी हुई बात का भी विरोधाभाषी है कि `7sqrt5` एक परिमेय संख्या है।
इसलिए `7sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

प्रश्न(c): `6 + sqrt2`

उत्तर: मान लीजिए कि `6 + sqrt2` एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
`6 + sqrt2 = a/b`
`sqrt2 = (a/b) – 6`
चूंकि a और b परिमेय संख्या हैं, इसलिए `a/b – 6` भी एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए `sqrt2` एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन यह इस बात का विरोधाभाषी है कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है। ऐसा इसलिए हुआ कि हमने इसे गलती से परिमेय संख्या माना था।
इसलिए `6 + sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

अभ्यास 1.4

प्रश्न1: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:

(a) `(13)/(3125)`
(b) `(17)/(8)`
(c) `(64)/(455)`
(d) `(15)/(1600)`
(e) `(29)/(343)`
(f) `(23)/(2^3\xx5^2)`
(g) `(129)/(2^2\xx5^7\xx7^5)`
(h) `(6)/(15)`
(i) `(35)/(50)`
(j) `(27)/(210)`

उत्तर: (a), (b), (d), (f), (h) और (i) दशमलब के प्रसार सांत हैं।

(c), (e), (g) और (i) दशमलब के प्रसार असांत आवर्ती हैं।

प्रश्न2: ऊपर दिए गये प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।

उत्तर: (a) 0.00416, (b) 2.125, (d) 0.009375, (f) 0.115, (h) 0.4, (i) 0.7

प्रश्न3: 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गये हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और p/q के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

प्रश्न(a): 43.123456789

उत्तर: यह एक परिमेय संख्या है, जिसमें q का मान 2 या 5 या दोनों हो सकता है।

प्रश्न(b): 0.120120022000120000…..

उत्तर: यह एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न(c): 43.123456789

उत्तर: यह एक परिमेय संख्या है जिसमें q का मान 2 या 5 या दोनों तथा q के मान में कुछ और फैक्टर भी हो सकते हैं।