त्रिकोणमिति
ऊँचाई और दूरी
अभ्यास 9 Part 1
प्रश्न 1: सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी हुई है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: इस आकृति में; AC एक डोर है जो 20 m लंबी है और हमें AB का मान पता करना है।
Δ ABC में;
`text(sin)θ=p/h=(AB)/(AC)`
या, `text(sin) 30°=(AB)/(AC)`
या, `(1)/(2)=(AB)/(20)`
या, `AB=10 cm`
इसलिए, खंभे की ऊँचाई = 10 m
प्रश्न 2: आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मी है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि BD एक पेड़ है। आँधी के कारण AD टूट जाता है और मुड़कर AC बन जाता है।
यहाँ, पेड़ का टूटा हुआ भाग AC है और साबुत पेड़ AB है।
यहाँ, BC = 8 m, और ∠ BCA=30o
AB और AC का जोड़ जो BD के बराबर होगा हमें पेड़ की ऊँचाई बताएगा।
Δ ABC में;
`text(cos)θ=b/h=(BC)/(AC)`
या, `text(cos) 30°=(8)/(AC)`
या, `(sqrt3)/(2)=(8)/(AC)`
या, `AC=(16)(sqrt3)`
अब;
`text(tan)θ=p/b=(AB)/(BC)`
या, `text(tan) 30°=(AB)/(8)`
या, `(1)/(sqrt3)=(AB)/(8)`
या, `AB=(8)/(sqrt3)`
पेड़ की ऊँचाई = AB + AC
`=(8)/(sqrt3)+(16)/(sqrt3)`
`=(24)/(sqrt3)=(24)/(sqrt3)xx(sqrt3)/(sqrt3)=8sqrt3 m`
इसलिए पेड़ की ऊँचाई = 8√3 m
प्रश्न 3: एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मी की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मी की ऊँचाई पर एक अधिक ढ़ाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
उत्तर: पहली फिसलनपट्टी के केस में; p = 1.5 m और उन्नयन कोण = 30°
हमें कर्ण का पता करना है
`text(sin)θ=p/h`
या, `text(sin) 30°=(1.5)/(h)`
या, `1/2=(1.5)/(h)`
या, `h=3 m`
दूसरी फिसलनपट्टी के केस में; p = 3 m, उन्नयन कोण = 60° और h = ?
`text(sin)θ=p/h`
या, `text(sin) 60°=3/h`
या, `(sqrt3)/(2)=3/h`
या, `h=(6)/(sqrt3)=2sqrt3`
इसलिए पहली फिसलनपट्टी की लंबाई = 3m और दूसरी फिसलनपट्टी की लंबाई = 2√3 m