त्रिकोणमिति

ऊँचाई और दूरी

अभ्यास 9 Part 2

प्रश्न 4: भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद बिंदु से 30 मी की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ; b = 30 m, उन्नयन कोण = 30° और p = ?

`text(tan) θ=p/b`

या, `text(tan) 30°=(p)/(30)`

या, `(1)/(sqrt3)=(p)/(30)`

या, `p=(30)/(sqrt3)`

`=(30)/(sqrt3)xx(sqrt3)/(sqrt3)=10sqrt3`

इसलिए मीनार की उँचाई = `10sqrt3` m

प्रश्न 5: भूमि से 60 मी की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढ़ील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ; p = 60 m, उन्नयन कोण = 60° और h = ?

`text(sin) θ=p/h`

या, `text(sin) 60°=(60)/(h)`

या, `1/2=(60)/(h)`

या, `h=(120)/(sqrt3)`

`=(120)/(sqrt3)xx(sqrt3)/(sqrt3)=40sqrt3 m`

प्रश्न 6: 1.5 मी लंबा एक लड़का 30 मी ऊँचे भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी चलकर गया है।

उत्तर: यहाँ; p = 30 – 1.5 = 28.5 m, पहले केस में उन्नयन कोण = 30° और दूसरे केस में उन्नयन कोण = 60°. पहले और दूसरे केस में त्रिभुज के आधारों में अंतर से लड़के द्वारा तय की गई दूरी का पता चलेगा।

पहला केस:
`text(tan) 30°=p/b`

या, `(1)/(sqrt3)=(28.5)/(b)`

या, `b=28.5sqrt3`

दूसरा केस:
`text(tan) 60°=p/b`

या, `sqrt3=(28.5)/(b)`

या, `b=(28.5)/(sqrt3)`

लड़के द्वारा तय की गई दूरी को इस तरह निकाला जा सकता है:

`28.5sqrt3-(28.5sqrt3)/(sqrt3)`

`=(28.5xx3-28.5)/(sqrt3)`

`=(57)/(sqrt3)=19sqrt3 m`

प्रश्न 7: भूमि के एक बिंदु से एक 20 मी ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए भवन की ऊँचाई = p = 20 m

भवन और संचार मीनार की कुल ऊँचाई = p’

भवन के शिखर का उन्नयन कोण = 45° और संचार मीनार के शिखर का उन्नयन कोण = 60°

कुल ऊँचाई से भवन की ऊँचाई घटाने से संचार मीनार की ऊँचाई पता चलेगी।

पहला केस:
`text(tan) 45°=p/b`

या, `(20)/(b)=1`

या, `b=20 m`

दूसरा केस:
`text(tan) 60°=(p’)/(b)`

या, `sqrt3=(p’)/(20)`

या, `p’=20sqrt3`

अब संचार मीनार की ऊँचाई का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`p'- p = 20sqrt3 - 20`

`= 20(sqrt3 - 1)`

`= 20(1.732 - 1)`

`= 20 x× 0.732 = 14.64  m`