वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.2

प्रश्न1: निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

प्रश्न(a): 140

उत्तर: `140 = 2 xx 2 xx 5 xx 7`` = 22 xx 5 xx 7`

प्रश्न(b): 156

उत्तर: `156 = 2 xx 2 xx 3 xx 13`` = 22 xx 3 xx 13`

प्रश्न(c): 3825

उत्तर: `3825 = 3 xx 3 xx 5 xx 5 xx 17`` = 32 xx 52 xx 17`

प्रश्न(d): 5005

उत्तर: `5005 = 5 xx 7 xx 11 xx 13`

प्रश्न(e): 7429

उत्तर: `7429 = 17 xx 19 xx 23`

प्रश्न2: पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM है।

प्रश्न(a): 26 और 91

उत्तर: इन दोनों संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`26 = 2 xx 13`
`91 = 7 xx 13`
इसलिए, LCM `= 2 xx 7 xx 13 = 182`
और, HCF = 13
अब, LCM `xx` HCF `= 182 xx 13 = 2366`
दोनों संख्याओं का गुणनफल `= 26 xx 91 = 2366`
इसलिए, LCM `xx` HCF = दी गई संख्याओं का गुणनफल

प्रश्न(b): 510 और 92

उत्तर: दोनों संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`510 = 2 xx 3 xx 5 xx 17`
`92 = 2 xx 2 xx 23`
इसलिए, LCM `= 2 xx 2 xx 3 xx 5 xx 17 xx 23 = 23460`
और, HCF = 2
अब, LCM `xx` HCF `= 23460 xx 2 = 46920`
दोनों संख्याओं का गुणनफल `= 510 xx 92 = 46920`
इसलिए, LCM `xx` HCF = दी गई संख्याओं का गुणनफल

प्रश्न(c): 336 और 54

उत्तर: दोनों संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं;

`336 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 3 xx 7`` = 24 xx 3 xx 7`
`54 = 2 xx 3 xx 3 xx 3 = 2 xx 33`
इसलिए, LCM of 336 and 54 `= 24 xx 33 xx 7 = 3024`
और, HCF `= 2 xx 3 = 6`

अब, LCM `xx` HCF `= 3024 xx 6 = 18144`
दोनों संख्याओं का गुणनफल `= 336 xx 54 = 18144`
इसलिए, LCM `xx` HCF = दी गई संख्याओं का गुणनफल

प्रश्न3: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:

प्रश्न(a): 12, 15 और 21

उत्तर: दी गई संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`12 = 2 xx 2 xx 3 = 22 xx 3`
`15 = 3 xx 5`
`21 = 3 xx 7`
इसलिए, LCM `= 2 xx 2 xx 3 xx 5 xx 7 = 420`
और, HCF = 3

प्रश्न(b): 17, 23 और 29

उत्तर: दी गई संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`17 = 17 xx 1`
`23 = 23 xx 1`
`29 = 29 xx 1`
इसलिए, LCM `= 17 xx 23 xx 29 = 11339`
और HCF = 1

प्रश्न(c): 8, 9 और 25

उत्तर: दी गई संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`8 = 2 xx 2 xx 2 = 23`
`9 = 3 xx 3 = 32`
`25 = 5 xx 5= 52`
इसलिए, LCM `= 23 xx 32 xx 52 ``= 8 xx 9 xx 25 = 1800`
और HCF = 1

प्रश्न4: HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हम जानते हैं कि LCM x HCF = संख्याओं का गुणनफल

इसलिए LCM = संख्याओं का गुणनफल ÷ HCF

इसलिए LCM `= 306 xx 657 ÷ 9 ``= 201042 ÷ 9 = 22338`

प्रश्न5: जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिये संख्या `6^n` अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

उत्तर: जो संख्या जीरो से समाप्त होती है वह 5 और 10 से डिविजिबल होती है। ऐसी संख्या 2 और 5 से भी डिविजिबल होती है।

दी हुई संख्या `6^n` तभी जीरो से समाप्त होगी जब वह 2 और 5 से डिविजिबल होगी।

इस संख्या के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`6^n = (2 xx 3)n`

चूँकि `6^n` के प्राइम फैक्टर में 5 मौजूद नहीं है, इसलिए संख्या `6^n` कभी भी जीरो से समाप्त नहीं होगी।

नोट: n के किसी भी मान के लिये `6^n` के यूनिट प्लेस पर हमेशा 6 रहेगा। इसे नीचे गये उदाहरण से दिखाया जा सकता है।

`6^1 = 6`
`6^2 = 36`
`6^3 = 216`
`6^4 = 1296`

इसलिए n के किसी भी मान के लिये `6^n` के यूनिट प्लेस पर जीरो नहीं हो सकता है।

प्रश्न6: व्याख्या कीजिए कि `7 xx 11 xx 13 + 13` और `7 xx 6 xx 5 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + 5` भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

उत्तर: जिस संख्या का 1 और उसके स्वयं के अलावा कम से कम एक और फैक्टर हो उसे भाज्य संख्या कहते हैं।

अब पहली संख्या को लेते हैं:

`7 xx 11 xx 13 + 13`
`= 13 xx (7 xx 11 + 1)`
`= 13 xx (77 + 1)`
`= 13 xx 78`

अब इस संख्या के 1 के अलावा दो और प्राइम फैक्टर हैं, इसलिये यह एक भाज्य संख्या है।

अब दूसरी संख्या को लेते हैं:

`7 xx 6 xx 5 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + 5`
`= 5 ( 7 xx 6 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + 1)`
`= 5 (1008 + 1)`
`= 5 xx 1009`

अब इस संख्या के 1 के अलावा दो और प्राइम फैक्टर हैं, इसलिये यह एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न7: किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

उत्तर: दोनों को मैदान का चक्कर लगाने में अलग-अलग समय लगते हैं। इसलिए दोनों द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लिये गये समय के LCM से इसका पता किया जा सकता है कि दोनों प्रारंभिक स्थान पर फिर कब मिलेंगे।

एक चक्कर लगाने में सोनिया द्वारा लिया गया समय = 18 मिनट

एक चक्कर लगाने में रवि द्वारा लिया गया समय = 12 मिनट

दोनों संख्याओं के प्राइम फैक्टर इस प्रकार हैं:

`18 = 2 xx 3 xx 3 = 2 xx 32`
`12 = 2 xx 2 xx 3 = 22 xx 3`
इसलिए, LCM `= 22 xx 32 = 4 xx 9 = 36`

इसलिए एक साथ शुरु करने के बाद सोनिया और रवि फिर से प्रारंभिक स्थान पर 36 मिनट बाद मिलेंगे।