त्रिकोणमिति

अभ्यास 8.4 Part 4

(iii) `(tanθ)/(1-cotθ)+(cotθ)/(1-tanθ) =1+secθtext(cosec)θ`

उत्तर:

`LHS: (tanθ)/(1-cotθ)+(cotθ)/(1-tanθ)`

`=(tanθ)/(1-(cosθ)/(sinθ))+(cotθ)/(1-(sinθ)/(cosθ))`

`=((sinθ)/(cosθ))/((sinθ-cosθ)/(sinθ))+((cosθ)/(sinθ))/((cosθ-sinθ)/(cosθ))`

`=(sinθ)/(cosθ)xx(sinθ)/(sinθ-cosθ)+(cosθ)/(sinθ)xx(cosθ)/(cosθ-sinθ)`

`=(sin^2θ)/(cosθ(sinθ-cosθ))+(cos^2θ)/(sinθ(cosθ-sinθ))`

`=(sin^2θ)/(cosθ(sinθ-cosθ))+(cos^2θ)/(sinθ(-sinθ+cosθ))`

`=(sin^2θ)/(cosθ(sinθ-cosθ))-(cos^2θ)/(sinθ(sinθ-cosθ))`

`=(1)/(sinθ-cosθ)((sin^2θ)/(cosθ)-(cos^2θ)/(sinθ))`

`=(1)/(sinθ-cosθ)((sin^3θ-cos^3θ)/(sinθ.cosθ))`

`=(1)/(sinθ-cosθ)xx((sinθ-cosθ)(sin^2θ+cos^2θ+sinθ.cosθ))/( sinθ.cosθ)`

`=(sin^2θ+cos^2θ+sinθ.cosθ)/(sinθ.cosθ)`

`=(1+ sinθ.cosθ)/( sinθ.cosθ)`

`=(1)/( sinθ.cosθ)+( sinθ.cosθ)/( sinθ.cosθ)`

`=(1)/( sinθ.cosθ)+1`

`=secθ.text(cosec)θ+1`

`=1+sec&theta.text(cosec)θ=RHS` सिद्ध हुआ

(iv) `(1+secA)/(secA)=(sin^2A)/(1-cosA)`

उत्तर:

`LHS: (1+secA)/(secA)`

`=(1+(1)/(cosA))/((1)/(cosA))`

`=((cosA+1)/(cosA))/((1)/(cosA))`

`=1+cosA`

`=1+cosAxx(1-cosA)/(1-cosA)`

`=(1-cos^2A)/(1-cosA)`

`=(sin^2A)/(1-cosA)=RHS`