त्रिभुज

अभ्यास 6.3 Part 5

13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि `CA^2 = CB.CD` है।

उत्तर: ΔBAC और ΔADC में;
∠BAC = ∠ADC (दिया गया है)
∠ACB = ∠DCA (संपाती कोण)
इसलिए; ΔBAC ≃ ΔADC
इसलिए;

`(CA)/(CB) = (CD)/(CA)`

(संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।)

या, `CA \xx\ CA = CB \xx\ CD`

या, `CA^2 = CB \xx\ CD` सिद्ध हुआ।

14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के क्रमश: समानुपाती है। दर्शाइए कि ΔABC ≃ ΔPQR है।

उत्तर: `(AB)/(AD) = (PQ)/(PM)` (दिया गया है)

इसलिए;
Δ ABC ≃ Δ PQR
सिद्ध हुआ।

15. लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्तंभ की ऊँचाई = AB = 6 m और इसकी छाया की लंबाई = BC = 4 m
मीनार की ऊँचाई = PQ = ? और इसकी छाया की लंबाई = QR = 28 m
दोनों त्रिभुज में किसी दिये गये समय में सूर्य का उन्नयन कोण बराबर होगा।
इसलिए; ΔABC ≃ ΔPQR

इसका मतलब है;

`(AB)/(AC) = (PQ)/(QR)`

या, `6/4 = (PQ)/(28)`

या, `PQ = (6 xx 28)/4 = 42` m

मीनार की ऊँचाई = 42 m

16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमश: माध्यिकाएँ हैं, जबकि ΔABC ≃ ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि `(AB)/(PQ) = (AD)/(PM)` है।

उत्तर: Δ ABC ≃ Δ PQR (दिया गया है)
इसलिए;

`(AB)/(AD) = (PQ)/(PM)`

(दोनों त्रिभुज में संगत भुजाएँ और माध्यिका का अनुपात समान है।)

`(AB)/(PQ) = (AD)/(PM)`

सिद्ध हुआ।