त्रिभुज

अभ्यास 6.2

4. दी गई आकृति में DE||AC और DF||AE है तो सिद्ध कीजिए कि `(BF)/(FE) = (BE)/(EC)` है।

उत्तर: Δ ABC और ΔDBE में;

`(BE)/(EC) = (BD)/(BA)`

क्योंकि Δ ABC ≃ Δ DBE

इसी तरह Δ ABE और Δ DBF में;

`(BF)/(FE) = (BD)/(DA)`

ऊपर के समीकरणों से यह स्पष्ट है;

`(BF)/(FE) = (BE)/(EC)`

5. दी गई आकृति में DE||OQ और DF||OR है। दर्शाइए कि EF||QR है।

उत्तर: Δ PQO और Δ PED में;

PE/EQ = ED/QO = PD/DO

(क्योंकि बेसिक प्रोपोर्शनलिटी थ्योरम के अनुसार, ये समरूप त्रिभुज हैं।)

इसी तरह Δ PRO और Δ PFD में;

`(PF)/(FR) = (FD)/(RO) = (PD)/(DO)`

ऊपर के समीकरणों से यह स्पष्ट है;

`(PE)/(EQ) = (PF)/(FR)`

इसलिए;

`(PE)/(EQ) = (EF)/(QR)`

इसलिए, EF || QR सिद्ध हुआ।

6. दी गई आकृति में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB|PQ और AC||PR है। दर्शाइए कि BC||QR है।

उत्तर: Δ OPQ और Δ OAB में;

`(OQ)/(AP) = (OB)/(BQ)`

(क्योंकि BPT के अनुसार, ये समरूप त्रिभुज हैं।)

इसी तरह Δ OPR और Δ OAC में;

`(OA)/(OP) = (OC)/(CR)`

ऊपर के समीकरणों से यह स्पष्ट है;

`(OB)/(BQ) = (OC)/(CR)`

इसलिए; BC || QR सिद्ध हुआ।

7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

उत्तर: PQR एक त्रिभुज है जिसमें DE || QR है। DE रेखा PQ भुजा को बिंदु D पर इस तरह से काटती है कि PD = DQ

सिद्ध करना है: PE = ER

Δ PQR और Δ PDE में;

`(PD)/(DQ) = (PE)/(ER)`

(क्योंकि BPT के अनुसार, ये समरूप त्रिभुज हैं।)

`(PD)/(DQ) = 1` (दिया गया है)

इसलिए, `(PE)/(ER) = 1`

इसलिए; PR का मिड प्वाइंट E है; यह सिद्ध हुआ।

8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज कि किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

उत्तर: इस प्रश्न को हल करने के लिये पिछले प्रश्न की आकृति का उपयोग किया जा सकता है।
ABC एक त्रिभुज है, जिसमें D और E क्रमश: PQ और PR के मिड प्वाइंट हैं।

सिद्ध करना है: DE || QR
Δ PQR और Δ PDE में;

`(PD)/(DQ) = (PE)/(ER) = 1` (दिया गया है)

इसलिए BPT के अनुसार ये त्रिभुज समरूप हैं।
इसलिए; DE || QR सिद्ध हुआ।

9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB||DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर O बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि `(AO)/(BO) = (CO)/(DO)` है।

उत्तर: EF || CD खींचिए जो O से होकर गुजरती है।
Δ ABC और Δ EOC में;
BPT के अनुसार, ये समरूप त्रिभुज हैं।

`(AE)/(EC) = (BO)/(OC)`

इसी तरह Δ BOD और Δ FOD में;

`(BF)/(FD) = (AO)/(OD)`

Δ ABC और Δ BAD में;

`(BO)/(OC) = (AO)/(OD)`

(क्योंकि ट्रैपेजियम (समलंब) के विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।)

ऊपर के समीकरणों से यह स्पष्ट है;

`(AE)/(EC) = (BF)/(FD)`


इसलिए, Δ ABC ≃ Δ BAD
तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर;

`(BO)/(OC) = (AO)/(OD)`

या, `(AO)/(BO) = (CO)/(DO)`

10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

उत्तर: इस प्रश्न के हल के लिये पिछले प्रश्न की आकृति का उपयोग किया जा सकता है। चूँकि विकर्ण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं, इसलिए यह सिद्ध होता है कि ABCD एक समलंब है।