त्रिभुज

NCERT अभ्यास 6.3 Part 1

1. बताइए कि दी गई आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में या है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: (i) Δ ABC ≃ Δ PQR (AAA कसौटी)

उत्तर: (ii) Δ ABC ≃ Δ QRP (SSS कसौटी)

उत्तर: (iii) समरूप नहीं हैं

उत्तर: (iv) Δ LMN ≃ Δ PQR (SAS कसौटी)

उत्तर: (v) समरूप नहीं हैं।

उत्तर: (vi) Δ DEF ≃ Δ PQR (AAA कसौटी)

2. दी गई आकृति में Δ ODC ≃ Δ OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

उत्तर: `∠DOC + ∠COB = 180°` (कोणों का रैखीय युग्म)
या, `∠DOC + 120° = 180°`
इसलिए, `∠DOC = 180° - 120° = 60°`

Δ DOC में;
`∠DCO + ∠CDO + ∠DOC = 180°` (त्रिभुज के कोणों का योग)
या, `∠DCO + 70° + 60° = 180°`
या, `∠DCO = 180° - 130° = 50°`
`∠OCD = ∠OAB = 50°` (क्योंकि Δ ODC ≃ Δ OBA; दिया गया है)

3. समलंब ABCD, जिसमें AB||CD है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि `(OA)/(OC) = (OB)/(OD)` है।

उत्तर: EF || CD खींचिए जो O से होकर गुजरती है।
Δ ABC और Δ EOC में;

`(AE)/(EC) = (BO)/(OC)`

BPT के अनुसार, ये समरूप त्रिभुज हैं।

इसी तरह से, Δ BOD और Δ FOD में;

`(BF)/(FD) = (AO)/(OD)`

Δ ABC और Δ BAD में;

`(BO)/(OC) = (AO)/(OD)`

(चूँकि समलंब के विकरण एक दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।)

ऊपर के तीन समीकरण से यह स्पष्ट है;

`(AE)/(EC) = (BF)/(FD)`

इसलिए, Δ ABC ≃ Δ BAD

तीसरे समीकरण का प्रयोग करने पर;

`(BO)/(OC) = (AO)/(OD)`

या, `(AO)/(BO) = (CO)/(DO)` सिद्ध हुआ।