त्रिभुज

अभ्यास 6.4 Part 1

1. मान लीजिए ΔABC ≃ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64 `cm^2` और 121 `cm^2` हैं। यदि EF = 15.4 हो, तो BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Δ ABC और Δ DEF में;

`(ar(ABC))/(ar(DEF))=(BC^2)/(EF^2)`

या `(BC^2)/(15.4^2)=(64)/(121)`

या `(BC)/(15.4)=(8)/(11)`

या `BC=11.2\cm`

2. एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज AOB और COD में;

∠ AOB = ∠ COD (सम्मुख कोण)

∠ OAC = ∠ OCD (एकांतर कोण)

इसलिए; Δ AOB ≃ Δ COD

इसलिए; `(ar(AOB))/(ar(COD))=(AB^2)/(CD^2)`

`=((2CD)^2)/(CD^2)=(4CD^2)/(CD^2)=4:1`

3. दी गई आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि ar(ABC)/ar(DBC) = AO/DO है।

उत्तर: सबसे पहले BC पर क्रमश: A और D से ऊँचाई AM और DN खींचिए।

`(ar(ABC))/(ar(DBC))=(1/2xxBCxxAM)/(1/2xxBCxxDN)=(AM)/(DN)`

ΔAMO और ΔDNO में;
∠ AMO = ∠ DNO (समकोण)
∠ AOM = ∠ DON (सम्मुख कोण)
इसलिए; ΔAMO ≃ ΔDNO

इसलिए; `(AM)/(DN)=(AO)/(DO)`

या `(ar(ABC))/(ar(DBC))=(AO)/(DO)`

4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

उत्तर: समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज ABC और PQR मान लेते हैं।

ऐसी स्थिति में; `(ar(ABC))/(ar(PQR))=(1)/(1)`

इस स्थिति में `(AB^2)/(PQ^2)=(AC^2)/(PR^2)=(1)/(1)`

या `(AB)/(PQ)=(AC)/(PQ)=1`

इसलिए दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।