त्रिभुज

अभ्यास 6.4 Part 2

5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य बिंदु क्रमश: D, E और F हैं। ΔDEF और ΔABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चूँकि D, E और F क्रमश: AB, BC और AC के मध्य बिंदु हैं।
इसलिए; ΔBAC≃ΔDFE

इसलिए, `(DF)/(BC)=(EF)/(AB)=(DE)/(AC)=(1)/(2)`

इसलिए,`(ar(DEF))/(ar(ABC))=(1^2)/(2^2)=(1)/(4)`

6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

उत्तर: मान लीजिए कि ABC और PQR दो समरूप त्रिभुज हैं।

ऐसी स्थिति में; `(ar(ABC))/(ar(PQR))=(AB^2)/(PQ^2)=(AC^2)/(PR^2)`

मान लीजिए कि इन त्रिभुज की माध्यिकाएँ AD और PM हैं।

ऐसी स्थिति में; `(AB^2)/(PQ^2)=(AC^2)/(AR^2)=(AD^2)/(PM^2)`

या `(ar(ABC))/(ar(PQR))=(AD^2)/(PM^2)`

7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

उत्तर: मान लीजिए कि एक वर्ग है जिसकी भुजा ‘a’ है।
तो वर्ग का विकर्ण a√2 होगा।

भुजा ‘a’ वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `=(sqrt3)/(4)\a^2`

भुजा a√2 वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `=(sqrt3)/(4)\(asqrt2)^2`

दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात

`((sqrt3)/(4)xxa^2)/((sqrt3)/(4)xx2a^2)=(1)/(2)`

सिद्ध हुआ।

8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है: (a) 2:1 (b) 1:2 (c) 4:1 (d) 1:4

उत्तर: (c) 4 : 1
इस उत्तर की व्याख्या के लिये प्रश्न 5 का उत्तर देखें।

9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रालों का अनुपात है: (a) 2:2 (b) 4:9 (c) 81:16 (d) 16:81

उत्तर: (d) 16 : 91
नोट: समरूप आकृति के केस में क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।