रैखिक समीकरण

NCERT अभ्यास 3.6 Part 1

प्रश्न 1: निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:

(a) `(1)/(2x)+(1)/(3y)=2` और `(1)/(3x)+(1)/(2y)=(13)/(6)`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(1)/(2x)+(1)/(3y)=2`

या, `(3y+2x)/(6xy)=2`

या, `2x+3y=12xy`

दूसरा समीकरण:

`(1)/(3x)+(1)/(2y)=(13)/(6)`

या, `(2y+3x)/(6xy)=(13)/(6)`

या, `6(3x+2y)=13xx6xy`

या, `18x+12y=78xy`

पहले समीकरण को 4 से गुना करने पर मिलने वाले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर;
`18x + 12y – 8x – 12y = 78xy – 48xy`
या, `10x = 30xy`
या, `1 = 3y`
या, `y = 1/3`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

`2x+3y=12xy`

या, `2x+3xx1/3=12x\xx1/3`

या, `2x+1=4x`

या, `2x=1`

या, `x=1/2`

इसलिए, `x=1/2` और `y=1/3`

(b) `(2)/(sqrt\x)+(3)/(sqrt\y)=2` और `(4)/(sqrt\x)-(9)/(sqrt\y)=-1`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(2)/(sqrt\x)+(3)/(sqrt\y)=2`

या, `(3sqrt\x+2sqrt\y)/sqrt(xy)=2`

या, `3sqrt\x+2sqrt\y=2sqrt(xy)`

दूसरा समीकरण:

`(4)/(sqrt\x)-(9)/(sqrt\y)=-1`

या, `(4sqrt\y)-9sqrt\x)/sqrt(xy)=-1`

या, `4sqrt\y-9sqrt\x=-sqrt(xy)`

या, `9sqrt\x-4sqrt\y=sqrt(xy)`

पहले और दूसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि;

`3sqrt\x+2sqrt\y=2(9sqrt\x-4sqrt\y)`

या, `3sqrt\x+2sqrt\y=18sqrt\x-8sqrt\y`

या, `3sqrt\x+2sqrt\y+8sqrt\y=18sqrt\x`

या, `10sqrt\y=15sqrt\x`

या, `sqrt\x=(10)/(15)sqrt\y=2/3sqrt\y`

ऊपर के किसी भी समीकरण में `sqrt\x` का मान रखने पर;

`3sqrt\x+2sqrt\y=2sqrt(xy)`

या, `3xx2/3sqrt\y+2sqrt\y=2xx2/3xx\sqrt\y\xx\sqrt\y`

या, `2sqrt\y+2sqrt\y=4/3y`

या, `4sqrt\y=4/3y`

या, `sqrt\y=4÷4/3=3`

दूसरे समीकरण में `sqrt\y` का मान रखने पर;

`9sqrt\x-4sqrt\y=sqrt(xy)`

या, `9sqrt\x-4xx3=3sqrt\x`

या, `9sqrt\x-3sqrt\x=12`

या, `6sqrt\x=12`

या, `sqrt\x=2`

इसलिए, `x=4` और `y=9`

उत्तर: पहला समीकरण:

`4/x+3y=14`

या, `(4+3xy)/(x)=14`

या, `4+3xy=14x`

या, `4+3xy-14x=0`

दूसरा समीकरण:

`3/x-4y=23`

या, `(3-4xy)/(x)=23`

या, `3-4xy=23x`

या, `3-4xy-23x=0`

पहले समीकरण को 4 से गुना करने पर, फिर दूसरे समीकरण को 3 से गुना करने पर मिलने वाले समीकरणों को जोड़ने पर;
`16 + 12xy – 56x + 9 - 12xy - 69x = 0`
या, `25 – 125x = 0`
या, `125x = 25`
या, `x = 1/5`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

`4+3xy-14x=0`

या, `4+3xx1/5y-14xx1/5=0`

या, `(20+3y-14)/(5)=0`

या, `6+3y=0`

या, `3y=-6`

या, `y=-6/3=-2`

इसलिए, `x=1/5` और `y=-2`

(d) `(5)/(x-1)+(1)/(y-2)=2` और `(6)/(x-1)-(3)/(y-2)=1`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(5)/(x-1)+(1)/(y-2)=2`

या, `(5(y-2)+x-1)/((x-1)(y-2))=2`

या, `(5y-10+x-1)/(xy-2x-y+2)=2`

या, `x+5y-11=2xy-4x-2y+4`

या, `x+5y-11+4x+2y-4=2xy`

या, `5x+7y-15=2xy`

दूसरा समीकरण:

`(6)/(x-1)-(3)/(y-2)=1`

या, `(6y-12-3x+3)/(xy-2x-y+2)=1`

या, `6y-3x-9=xy-2x-y+2`

या, `6y-3x-9+2x+y-2=xy`

या, `7y-x-11=xy`

दूसरे समीकरण को 2 से गुना करके मिलने वाले समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर;

`14y-2x-22-(7y+5x-15=2xy-2xy`

या, `14y-2x-22-7y-5x+15=0`

या, `7y-7x-7=0`

या, `y-x-1=0`

या, `y=x+1`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`5x + 7y – 15 = 2xy`
या, `5x + 7x + 7 – 15 – 2x(x + 1)`
या, `12x – 8 = 2x^2 + 2x`
या, `10x – 8 = 2x^2`
या, `x^2 = 5x – 4`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`7y – x – 11 = xy`
या, `7x + 7 – x – 11 = x^2 + 1`
या, `6x – 5 = x^2`

ऊपर के दोनों समीकरण से यह स्पष्ट है कि;
`5x – 4 = 6x – 5`
या, `5x + 1 = 6x`
या, `x = 1`

इसलिए, `y = x + 1 = 2`
इसलिए, `x = 1` और `y = 2`