रैखिक समीकरण

NCERT अभ्यास 3.5 Part 3

प्रश्न 4: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो‌ किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए।

(a) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस बात पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रु छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रु अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि नियत खर्च = x है और प्रतिदिन का खर्च = y है।
छात्र A द्वारा दी गई राशि `= x + 20y = 1000`
छात्र B द्वारा दी गई राशि `= x + 26y = 1180`

`x+26y=1180`

`(a_1)/(a_2)=1`

`(b_1)/(b_2)=(20)/(26)=(10)/(13)`

यह स्पष्ट है कि

`(a_1)/(a_2)≠(b_1)/(b_2)`

दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े के लिये अद्वितीय हल संभव है।

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर;
`x + 26y – x – 20y = 1180 – 1000`
या, `6y = 180`
या, `y = 30`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`x + 20y = 1000`
या, `x + 20 x 30 = 1000`
या, `x + 600 = 1000`
या, `x = 1000 – 600 = 400`
इसलिए नियत शुल्क = Rs. 400 और प्रतिदिन का शुल्क = Rs. 30

(b) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह ¼ हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि अंश = x है और हर = y है।

पहली शर्त:

`(x-1)/(y)=1/3`

या, `3x – 3 = y`
या, `3x – y – 3 = 0` …….. (1)

दूसरी शर्त:

`(x)/(y+8)=1/4`

या, `4x = y + 8`
या, `4x – y – 8 = 0` ……… (2)

`(a_1)/(a_2)=3/4`

`(b_1)/(b_2)=1`

यह स्पष्ट है कि;

`(a_1)/(a_2)≠(b_1)/(b_2)`

इसलिए दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े का अद्वितीय हल संभव है।

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर;
`4x – y – 8 – 3x + y + 3 = 0`
या, `x – 5 = 0`
या, `x = 5`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`4x – y – 8 = 0`
या, `4 x 5 – y – 8 = 0`
या, `20 – y – 8 = 0`
या, `12 – y = 0`
या, `y = 12`
इसलिए, x = 5 और y = 12
इसलिए अभीष्ट भिन्न `= (5)/(12)`

(c) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?

उत्तर: मान लीजिए कि सही उत्तर की संख्या = x है और गलत उत्तर की संख्या = y है।
पहली शर्त: `3x - y = 40`
दूसरी शर्त: `4x - 2y = 50`

`(a_1)/(a_2)=3/4`

`(b_1)/(b_2)=1/2`

यह स्पष्ट है कि;

`(a_1)/(a_2)≠(b_1)/(b_2)`

इसलिए दिये गये रैखिक समीकरण के जोड़े का अद्वितीय हल संभव है।

पहले समीकरण को 2 से गुना करके मिलने वाले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर;
`6x - 2y – 4x + 2y = 80 – 50`
या, `2x = 30`
या, `x = 15`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`4x - 2y = 50`
या, `4 xx 15 - 2y = 50`
या, `60 – 2y = 50`
या, `2y = 60 – 50 = 10`
या, `y = 5`
इसलिए सही उत्तर की संख्या = 15 और गलत उत्तर की संख्या = 5

(d) एक राजमार्ग पर दो स्थान और 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार से तथा दूसरी कार से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न भिन्न चालों में स एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि कार A की चाल = x है और कार B की चाल = y है।
पहली शर्त: जब दोनों कार एक ही दिशा में जा रही हैं, तो उनकी सापेक्षिक चाल `= x – y`
इसलिए

`(100)/(x-y)=5`

Or, `5x-5y=100`

Or, `x-y=20`

दूसरी शर्त: जब दोनों कार एक दूसरे की विपरीत दिशा में जा रही हैं, तो उनकी सापेक्षिक चाल `= x + y`

इसलिए;

`(100)/(x+y)=1`

Or, `x+y=100`

दोनों समीकरण को जोड़ने पर;
`x – y + x + y = 20 + 100`
या, `2x = 120`
या, `x = 60`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`x – y = 20`
या, `60 – y = 20`
या, `y = 60 – 20 = 40`
इसलिए कार A की चाल= 60 km/h कार B की चाल = 40 km/h

(e) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि लम्बाई = x और चौड़ाई = y है।
आयत का क्षेत्रफल = xy

पहली शर्त: लम्बाई `= x - 5` और चौड़ाई `= y + 3`
आयत का क्षेत्रफल:
`(x – 5)(y + 3) = xy – 9`
या, `xy – 5y + 3x – 15 = xy – 9`
या, `3x – 5y – 15 = - 9`
या, `3x – 5y – 15 + 9 = 0`
या, `3x – 5y – 6 = 0`

दूसरी शर्त: लम्बाई `= x +3` और चौड़ाई `= y + 2`
आयत का क्षेत्रफल:
`(x + 3)(y + 2) = xy + 67`
या, `xy + 3y + 2x + 6 = xy + 67`
या, `2x + 3y + 6 = 67`
या, `2x + 3y – 61 = 0`

पहले समीकरण को 2 से गुना करने पर;
`6x – 10y – 12 = 0`

दूसरे समीकरण को 3 से गुना करने पर;
`6x + 9y – 183 = 0`

इन समीकरण को घटाने पर;
`6x + 9y – 183 – 6x + 10y + 12 = 0`
या, `19y – 171 = 0`
या, `19y = 171`
या, `y = 9`

ऊपर के किसी भी समीकरण में y का मान रखने पर;
`6x + 9y – 183 = 0`
या, `6x + 9 x 9 – 183 = 0`
या, `6x + 81 – 183 = 0`
या, `6x – 102 = 0`
या, `6x = 102`
या, `x = 17`
इसलिए, लम्बाई = 17 यूनिट और चौड़ाई = 9 यूनिट