रैखिक समीकरण
NCERT अभ्यास 3.2 Part 1
प्रश्न 1: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(a) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़्कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि लड़कों की संख्या `= x` और लड़कियों की संख्या `= y`. प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।
`x + y = 10`
या, `y = 10 – x` ………(1)
इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 9 | 8 | 7 | 6 |
`y = x + 4` ………..(2)
इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 6 | 7 | 8 |
दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।
लड़कों की संख्या = 3 और लड़कियों की संख्या = 7
(b) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि एक पेंसिल का मूल्य `= x` और एक कलम का मूल्य `= y` है। प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।
`5x + 7y = 50` ………(1)
इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 6.4 | 5.7 | 5 | 4.2 |
`7x + 5y = 46` ……….(2)
इस समीकरण से x और y के निम्नलिखित मान मिलते हैं।
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 7.8 | 6.4 | 5 | 3.6 |
दिये गये रैखिक समीकरण के युग्म के लिये दिया गया ग्राफ बनाया जा सकता है।
एक पेंसिल का मूल्य = 3 रु और एक कलम का मूल्य = 5 रु
प्रश्न 2: अनुपातों `(a_1)/(a_2)`, `(b_1)/(b_2)` और `(c_1)/(c_2)` की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरुपित रेखाएँ एक बिंगु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(a) `5x – 4y + 8 = 0` and `7x + 6y – 9 = 0`
उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए
`(a_1)/(a_2)=5/7`
`(b_1)/(b_2)=-4/6=-2/3`
यह स्पष्ट है कि
`(a_1)/(a_2)≠(b_1)/(b_2)`
इसलिए दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं।
(b) `9x + 3y + 12 = 0` and `18x + 6y + 24 = 0`
उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए
`(a_1)/(a_2)=(9)/(18)=1/2`
`(b_1)/(b_2)=3/6=1/2`
`(c_1)/(c_2)=(12)/(24)=1/2`
यह स्पष्ट है कि
`(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)=(c_1)/(c_2)`
इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ संपाती हैं।
(c) `6x – 3y + 10 = 0` and `2x- y + 9 = 0`
उत्तर: रैखिक समीकरणों के दिये गये युग्म के लिए
`(a_1)/(a_2)=6/2=3`
`(b_1)/(b_2)=(-3)/(-1)=3`
`(c_1)/(c_2)=(10)/(9)`
यह स्पष्ट है कि
`(a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)≠(c_1)/(c_2)`
इसलिए, दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के लिये प्राप्त रेखाएँ समांतर हैं।