दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
NCERT अभ्यास 3.6 Part 3
प्रश्न 2: निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
(a) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 किमी तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि स्थिर जल में नाव की चाल = x है और धारा की चाल = y है।
इसलिए, धारा की दिशा में चाल `= x + y` धारा के विपरीत चाल `= x – y`
पहली शर्त: समय = दूरी/चाल का इस्तेमाल करने पर;
`(20)/(x+y)=2`
या, `2x+2y=20`
या, `x+y=10`
दूसरी शर्त: समय = दूरी/चाल का इस्तेमाल करने पर;
`(4)/(x-y)=2`
या, `x-y=2`
पहले और दूसरे समीकरण को जोड़ने पर;
`x + y + x – y = 10 + 2`
या, `2x = 12`
या, `x = 6`
इसलिए, `y = 4`
नाव की चाल = 6 km/h धारा की चाल = 4 km/h
(b) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
उत्तर: पहली शर्त: 2 महिलाओं और 5 पुरुष द्वारा एक दिन में किया गया काम:
`2w+5m=1/4`
Or, `8w+20m=1`
दूसरी शर्त: 3 महिलाओं और 6 पुरुषों द्वारा 1 दिन में किया गया काम:
`3w+6m=1/3`
Or, `9w+18m=1`
पहले और दूसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि;
`8w+20m=9w+18m`
या, `20m–18m=9w–8w`
या, `2m=w`
इसका मतलब है कि 1 महिला का काम 2 पुरुषों के काम के बराबर है। पहले समीकरण में w का मान रखने पर;
`8w + 20m = 1`
या, `8w + 10w = 1`
या, `18w = 1`
इसका मतलब यह है कि 1 महिला उस काम को पूरा करने के लिये 18 दिन लेगी।
इसी तरह से,
`16m + 20m = 1`
या, `36m = 1`
इसका मतलब है कि 1 पुरुष उस काम को पूरा करने के लिए 36 दिन लेगा।
(c) रूही 300 किमी दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 किमी रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 10 किमी रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल = x है और बस की चाल = y है।
पहली शर्त: रूही रेलगाड़ी से 60 किमी और बस से 240 किमी जाती है।
`(60)/(x)+(240)/(y)=4`
या, `(60y+240x)/(xy)=4`
या, `60y+240x=4xy`
या, `15y+60x=xy`
दूसरी शर्त: रूही रेलगाड़ी से 100 किमी जाती है और बस से 200 किमी जाती है।
`(100)/(x)+(200)/(y)=4\1/6=(25)/(6)`
या, `(100y+200x)/(xy)=(25)/(6)`
या, `(6)/(25)(100y+200x)=xy`
या, `6(4y+8x)=xy`
या, `24y+48x=xy`
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर;
`24y + 48x – 15y – 60x = xy – xy`
या, `9y – 12x = 0`
या, `9y = 12x`
या, `x = 3/4y`
पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`15y+60x=xy`
या, `15y+60xx3/4y=3/4y^2`
या, `15y+45t=3/4y^2`
या, `60y=3/4y^2`
या, `4/3xx60y=y^2`
या, `80y=y^2`
या, `y=80`
इसलिए, `x=3/4y=3/4xx80=60`
रेलगाड़ी की चाल = 60 km/h और बस की चाल = 80 km/h