दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म

NCERT अभ्यास 3.6 Part 2

(e) `(7x-2y)/(xy)=5`और `(8x+7y)/(xy)=15`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(7x-2y)/(xy)=5`

या, `7x-2y=5xy`

दूसरा समीकरण:

`(8x+7y)/(xy)=15`

या, `8x+7y=15xy`

पहले समीकरण को दो से गुना करने से मिलने वाले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर;
`8x + 7y – 21x + 6y = 15xy – 15xy`
या, `- 3x + 13y = 0`
या, `y – x = 0`
या, `x = y`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`7x – 2y = 5xy`
या, `7y – 2y = 5y^2`
या, `5y = 5y^2`
या, `y = 1`
इसलिए, `x = 1` और `y = 1`

(f) `6x + 3y = 6xy और 2x + 4y = 5xy`

उत्तर: पहले समीकरण को 5 से गुना करने पर और दूसरे समीकरण को 6 से गुना करने पर मिलने वाले समीकरणों को घटाने पर;

`30x + 15y – 12x – 24y = 30xy – 30xy`
या, `18x – 9y = 0`
या, `2x – y = 0`
या, `2x = y`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`6x + 3y = 6xy`
या, `6x + 6x = 12x^2`
या, `12x = 12x^2`
या, `x = 1`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`2 + 4y = 5y`
या, `y = 2`
इसलिए, `x = 1` और `y = 2`

(g) `(10)/(x+y)+(2)/(x-y)=4` और `(15)/(x+y)-(5)/(x-y)=-2`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(10)/(x+y)+(2)/(x-y)=4`

या, `(10x-10y+2x+2y)/((x+y)(x-y))=4`

या, `12x-8y=4(x+y)(x-y)`

या, `3x-2y=x^2-y^2`

दूसरा समीकरण:

`(15)/(x+y)-(5)/(x-y)=-2`

या, `(15x-15y-5x-5y)/((x+y)(x-y))=-2`

या, `10x-20y=-2(x^2-y^2)`

या, `-5x+10y=x^2-y^2`

पहले और दूसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि;

`3x-2y=10y-5x`

या, `8x=12y`

या, `x=3/2y`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

`3x-2y=x^2-y^2`

या, `3xx3/2y-2y=9/4y^2-y^2`

या, `(9y-4y)/(2)=(9y^2-4y^2)/(4)`

या, `5y=(5y^2)/(2)`

या, `10y=5y^2`

या, `2y=y^2`

या, `y=2`

इसलिए, `x=2xx3/2=3`

(h) `(1)/(3x+y)+(1)/(3x-y)=3/4` और `(1)/(2(3x+y))-(1)/(2(3x-y))=-1/8`

उत्तर: पहला समीकरण:

`(1)/(3x+y)+(1)/(3x-y)=3/4`

या, `(3x-y+3x+y)/(9x^2-y^2)=3/4`

या, `6x\xx4=3(9x^2-y^2)`

या, `8x=9x^2-y^2`

दूसरा समीकरण:

`(1)/(2(3x+y))-(1)/(2(3x-y))=-1/8`

या, `(1)/(3x+y)-(1)/(3x-y)=-1/4`

या, `-2y\xx4=-(9x^2-y^2)`

या, `8y=9x^2-y^2`

पहले और दूसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि;
`8x = 8y`
या, `x = y`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`8x = 9x^2 – y^2`
या, `8y = 9y^2 – y^2 = 8y^2`
या, `8y = 8y^2`
या, `y = 1`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`8 = 9x^2 – 1`
या, `9 = 9x^2`
या, `x = 1`
इसलिए, `x = 1` और `y = 1`