दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म

NCERT अभ्यास 3.3 Part 4

(d) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी दूरी के लिए भाड़ा 105 रु है तथा 15 किमी के लिए भाड़ा 155 रु है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

उत्तर: मान लीजिए कि नियत भाड़ा x है और प्रति किमी का भाड़ा y है। इससे हमें निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

`x + 10y = 105` और `x + 15y = 155`

किसी एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में व्यक्त करने के लिए पहले समीकरण का उपयोग करते हैं।
`x + 10y = 105`
या, `x = 105 – 10y`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`x + 15y = 155`
या, `105 – 10y + 15y = 155`
या, `105 + 5y = 155`
या, `5y = 155 – 105 = 50`
या, `y = 10`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`x = 105 – 10y`
या, `x = 105 – 10 xx 10`
या, `x = 5`
इसलिए नियत भाड़ा = 5 और प्रति किमी भाड़ा = 10 रु है।

(e) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाये, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि अंश x है और हर y है। इससे हमें निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

`(x+2)/(y+2)=(9)/(11)`

और, `(x+3)/(y+3)=5/6`

किसी एक वैरियेबल के रूप में दूसरे वैरियेबल को व्यक्त करने के लिये पहले समीकरण का उपयोग करते हैं।

`(x+2)/(y+2)=(9)/(11)`

या, `11(x+2)=9(y+2)`

या, `11x+22=9y+18`

या, `11x+22-18=9y`

या, `11x+4=9y`

या, `y=(11x+4)/(9)`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;

`(x+3)/(y+3)=5/6`

या, `6x+18=5y+15`

या, `6x+18-15=5y`

या, `5((11x+4)/(9))=6x+3`

या, `(55x+20)/(9)=6x+3`

या, `55x+20=54x+27`

या, `55x=54x+27-20`

या, `55x-54x=7`

या, `x=7`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;

`y=(11x+4)/(9)`

या, `y=(11xx7+4)/(9)=(81)/(9)=9`

इसलिए, `x = 7` और `y = 9`
भिन्न का मान `= 7/9`

(f) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की अयु से सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

उत्तर: मान लीजिए कि जैकब की वर्तमान आयु x है और उसके बेटे की वर्तमान आयु y है।
आज से पाँच साल बाद जैकब की आयु `= x + 5` और उसके बेटे की आयु `= y + 5`

प्रश्न के अनुसार;
`x + 5 = 3(y + 5)`
या, `x + 5 = 3y + 15`
या, `x = 3y + 15 – 5 = 3y + 10`

पाँच साल पहले जैकब की आयु `= x – 5` और उसके बेटे की आयु `= y – 5`
प्रश्न के अनुसार;
`x – 5 = 7(y – 5)`
या, `x – 5 = 7y – 35`
या, `x = 7y – 35 + 5 = 7y – 30`

पहले समीकरण से x का मान इस समीकरण में रखने पर;
`3y + 10 = 7y – 30`
या, `3y + 10 + 30 = 7y`
या, `7y – 3y = 40`
या, `4y = 40`
या, `y = 10`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`x = 3y + 10`
या, `x = 3 xx 10 + 10 = 40`
इसलिए जैकब की आयु = 40 वर्ष और बेटे की आयु = 10 वर्ष