रैखिक समीकरण

NCERT अभ्यास 3.3 Part 3

प्रश्न 2: `2x + 3y = 11` और `2x – 4y = - 24` को हल कीजिए और इससे `y = mx + 3` का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए हो।

उत्तर: किसी एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में व्यक्त करने के लिये पहला समीकरण का उपयोग करते हैं।

`2x + 3y = 11`
या, `2x = 11 – 3y`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;
`2x – 4y = - 24`
या, `11 – 3y – 4y = - 24`
या, `11 – 7y = - 24`
या, `7y = 11 + 24 = 35`
या, `y = 5`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`2x = 11 – 3y`
या, `2x = 11 – 3 xx 5`
या, `2x = 11 – 15 = - 4`
या, `x = - 2`
इसलिए, `x = - 2` और `y = 5`

अब हमें निम्नलिखित समीकरण में m का मान पता करना है।
`y = mx + 3`
या, `5 = m( - 2) + 3`
या, `- 2m + 3 = 5`
या, `- 2m = 5 – 3 = 2`
या, `m = - 1`

प्रश्न 3: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:

(a) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है। प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

`x = y + 26` और `x = 3y`

दूसरे समीकरण से x का मान पहले समीकरण में रखने पर:
`x = y + 26`
या, `3y = y + 26`
या, `2y = 26`
या, `y = 13`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`x = 3y`
या, `x = 13 xx 3 = 39`
इसलिए, `x = 39` और `y = 13`

(b) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि बड़ा कोण x है और छोटा कोण y है। प्रश्न के अनुसार निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं।

`x = y + 18` और `x + y = 180°`

पहले समीकरण से x का मान दूसरे समीकरण में रखने पर;
`x + y = 180°`
या, `y + 18 + y = 180°`
या, `2y = 180° - 18° = 162°`
या, `y = 81°`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`x = y + 18`
या, `x = 81° + 18° = 99°`
इसलिए, `x = 99°` और `y = 81°`

(c) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 में खरीदी। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक बल्ले का मूल्य x है और एक गेद का मूल्य y है। इस तरह से निम्नलिखित समीकरण बनते हैं।

`7x + 6y = 3800` और `3x + 5y = 1750`

किसी एक वैरियेबल को दूसरे वैरियेबल के रूप में व्यक्त करने के लिये पहला समीकरण प्रयोग करते हैं।

`7x+6y=3800`

या, `7x=3800-6y`

या, `x=(3800-6y)/(7)`

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर;

`3x+5y=1750`

या, `3((3800-6y)/(7))+5y=1750`

या, `(11400-18y)/(7)+5y=1750`

या, `11400+17y=1750xx7=12250`

या, `17y=12250-11400=850`

या, `y=850÷17=50`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;

`x=(3800-6y)/(7)`

या, `x=(38006xx50)/(7)`

`=(3800-300)/(7)=(3500)/(7)=500`

इसलिए एक बल्ले का मूल्य = 500 रु और एक गेंद का मूल्य = 50 रु