निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.1 Part 4

प्रश्न 6: निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:

(a) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)

उत्तर: मान लीजिए A = (-1, -2), B = (1, 0), C = (-1, 2) और D = (-3,0)

`AB =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = 1, y₁ = -2 और y₂ = 0

इसलिए, `AB=sqrt((1+1)^2+(0+2)^2)`

`=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(4+4)`

`=sqrt(8)=2sqrt2` यूनिट

`BC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = -1, y₁ = 0 और y₂ = 2

इसलिए, `BC=sqrt((-1-1)^2+(2-0)^2)`

`=sqrt((-2)^2+2^2)=sqrt(4+4)`

`=sqrt8=2sqrt2` यूनिट

`CD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -3, y₁ = 2 और y₂ = 0

इसलिए, `CD=sqrt((-3+1)^2+(0-2)^2)`

`=sqrt((-2)^2+(-2)^2)=sqrt(4+4)`
`=sqrt8=2sqrt2` यूनिट

`AD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -3, y₁ = -2 और y₂ = 0

इसलिए, `AD=sqrt((-3+1)^2+(0+2)^2)`

`=sqrt((-2)^2+2^2)=sqrt(4+4)`
`=sqrt8=2sqrt2` यूनिट

अब हम विकर्णों का मान निकालते हैं।

`AC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -1, x₂ = -1, y₁ = -2 और y₂ = 2

So, `AC=sqrt((-1+1)^2+(2+2)^2)`

`=sqrt(0^2+4^2)=sqrt(16)=4` यूनिट

`BD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 1, x₂ = -3, y₁ = 0 और y₂ = 0

इसलिए, `BD=sqrt((-3-1)^2+(0-0)^2)`

`=sqrt((-4)^2+0^2)=sqrt16=4` यूनिट

यहाँ पर, `AB=BC=CD=AD` और `AC=BD`
चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक वर्ग है।

(b) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)

उत्तर: मान लीजिए A = (-3, 5), B = (3, 1), C = (0, 3) और = (-1,-4)

`AB =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = 3, y₁ = 5 और y₂ = 1

इसलिए, `AB=sqrt((3+3)^2+(1-5)^2)`

`=sqrt(6^2+(-4)^2)`

`=sqrt(36+16)=sqrt52` यूनिट

`BC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 3, x₂ = 0, y₁ = 1 और y₂ = 3

इसलिए, `BC=sqrt((0-3)^2+(3-1)^2)`

`=sqrt((-3)^2+2^2)=sqrt(9+4)`

`=sqrt(13)` यूनिट

`CD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 0, x₂ = -1, y₁ = 3 और y₂ = -4

इसलिए, `CD=sqrt((-1-0)^2+(-4-3)^2)`

`=sqrt((-1)^2+(-7)^2)=sqrt(1+49)`

`=sqrt(50)=5sqrt2` यूनिट

`AD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = -1, y₁ = 5 और y₂ = -4

इसलिए, `AD=sqrt((-1+3)^2+(-4-5)^2)`

`=sqrt(2^2+(-9)^2)=sqrt(4+81)`

`=sqrt(85)` यूनिट

यहाँ, `AC≠BC≠CD≠DA`

चूँकि कोई भी भुजा बराबर नहीं है, इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक सामान्य चतुर्भुज है।

उत्तर: मान लीजिए A = (4, 5), B = (7, 6), C = (4, 3) और D = (1, 2)

`AB =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = -3, x₂ = 4, y₁ = 5 और y₂ = 6

इसलिए, `AB=sqrt((7-4)^2+(6-5)^2)`
`=sqrt(3^2+1^2)=sqrt(9+1)=sqrt(10)` यूनिट

`BC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 7, x₂ = 4, y₁ = 6 और y₂ = 3

So, `BC=sqrt((4-7)^2+(3-6)^2)`

`=sqrt((-3)^2+(-3)^2)=sqrt(9+9)`

`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट

`CD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 1, y₁ = 3 और y₂ = 2

इसलिए, `CD=sqrt((1-4)^2+(2-3)^2)`

`=sqrt((-3)^2+(-1)^2)=sqrt(9+1)`

`=sqrt(10)` यूनिट

`AD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 1, y₁ = 5 और y₂ = 2

इसलिए, `AD=sqrt((1-4)^2+(2-5)^2)`

`=sqrt((-3)^2+(-3)^2)=sqrt(9+9)`

`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट

अब हम विकर्णों का मान निकालेंगे।

`AC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 4, x₂ = 4, y₁ = 5 और y₂ = 3

इसलिए, `AC=sqrt((4-4)^2+(3-5)^2)`

`=sqrt(0^2+(-2)^2)=sqrt4=2` यूनिट

`BD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`

यहाँ पर, x₁ = 7, x₂ = 1, y₁ = 6 और y₂ = 2

इसलिए, `BD=sqrt((1-7)^2+(2-6)^2)`

`=sqrt((-6)^2+(-4)^2)=sqrt(36+16)`

`=sqrt(52)=2sqrt(13)` यूनिट

यहाँ पर, `AB=CD=sqrt(10)` यूनिट और `BC=AD=3sqrt2` यूनिट।

विकर्णों का मान, `AC=2` यूनिट और `BD=2sqrt13` यूनिट

यहाँ सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं हैं, इसलिए दिए गये बिंदुओं से एक समांतर चतुर्भुज बन रहा है।