निर्देशांक ज्यामिति
अभ्यास 7.3
प्रश्न 1: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(a) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
उत्तर: दिया गया है; `x_1 = 2`, `y_1 = 3`, `x_2 = -1`, `y_2 = 0`, `x_3 =2`, `y_3 = 4`
त्रिभुज के क्षेत्रफल का मान इस तरह निकाला जा सकता है।
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`
`=1/2 (2(0 + 4) + (-1)(- 4 – 3) + 2(3 – 0))`
`= ½ (8 + 7 + 6)`
`= ½ xx 21 = 21/2` वर्ग यूनिट
(b) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
उत्तर: (b) दिया गया है; `x_1 = -5`, `y_1 = -1`, `x_2 = 3`, `y_2 = -5`, `x_3 = 5`, `y_3 = 2`
त्रिभुज का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है।
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2))`
`= ½ ( - 5(-5 – 2) + 3(2 + 1) + 5(-1 +5))`
`= ½ (35 + 9 + 20)`
`= ½ xx 64 = 32` वर्ग यूनिट
प्रश्न 2: निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों:
(a) (7, -2), (5, 1), (3, k)
उत्तर: चूँकि तीनों बिंदु संरेखी हैं, इसलिए इनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल जीरो होगा।
या, `½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)) = 0`
या, `½ (7(1 – k) + 5(k + 2) + 3( - 2 – 1)) = 0`
या, `7 – 7k + 5k + 10 – 9 = 0`
या, `8 – 2k = 0`
या, `2k = 8`
या, `k = 4`
(b) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
उत्तर: चूँकि तीनों बिंदु संरेखी हैं, इसलिए इनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल जीरो होगा।
या, `½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)) = 0`
या, `½ (8( - 4 + 5) + k( - 5 – 1) + 2(1 + 4)) = 0`
या, `8 – 6k + 10 = 0`
या, `18 – 6k = 0`
या, `6k = 18`
या, `k = 3`
प्रश्न 3: शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिया गया है: A = (0, -1), B = (2, 1), C = (0, 3)
AB के मध्य बिंदु के को-ऑर्डिनेट इस तरह निकाले जा सकते हैं।
`x=(0+2)/(2)=1`
`y=(-1+1)/(2)=0`
BC के मध्य बिंदु के को-ऑर्डिनेट:
`x=(0+0)/(2)=0`
`y=(1+3)/(2)=2`
AC के मध्य बिंदु के को-ऑर्डिनेट:
`x=(0+0)/(2)=0`
`y=(-1+3)/(2)=1`
अब; D = (1, 0), E = (1, 2), F = (0, 1)
त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`
`= ½ (1(2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0(0 – 2))`
`= ½ (1 + 1) = 1` sq unit
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1– y_2))`
`= ½ (0(1 – 3) + 2(3 + 1) + 0( - 1 – 1))`
`= ½ (0 + 8 + 0 ) = 4` sq unit
क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4
प्रश्न 4: उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
उत्तर: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल ABD + क्षेत्रफल BCD
त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2))`
`= ½ (- 4(-5 – 3) + - 3(3 + 2) + 2(-2 + 5))`
`= ½ (32 – 15 + 6)`
`= ½ xx 23 = 23/2` वर्ग यूनिट
त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`
`= ½ (-3(-2 – 3) + 3(3 + 5) + 2 (- 5 + 2))`
`= ½ (15 + 24 – 6)`
`= ½ xx 33 = 33/2` वर्ग यूनिट
इसलिए चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल `= 23/2 + 33/2 = 28` वर्ग यूनिट
प्रश्न 5: नौवीं कक्षा में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
उत्तर: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2))`
`= ½ (4(-2 – 2) + 3(2 + 6) + 5( - 6 + 2))`
`= ½ ( - 16 + 24 – 20)`
`= ½ xx (– 12) = - 6` वर्ग यूनिट
अब मान लीजिए कि माध्यिका AD है तथा बिंदु D द्वारा AC को दो बराबर भागों में बाँटा गया है। बिंदु D के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह से निकाला जा सकता है।
`x=(4+5)/(2)=9/2`
`y=(-6+2)/(2)=-2`
त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है:
`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2))`
`= ½ (4 (-2 + 2) + 3 (- 2 + 6) + 9/2 (-6 + 2))`
`= ½ (0 + 12 – 18)`
`= ½ xx (-6) = - 3` वर्ग यूनिट
इससे पता चलता है कि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का आधा है। इससे यह सिद्ध होता है कि माध्यिका किसी भी त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटती है।