निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.4 Part 1

प्रश्न 1: बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा `2x+y-4=0` जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि दी गई रेखा AB को k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

विभाजन के बिंदु के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह से निकाला जा सकता है:

`x=(2+3k)/(k+1)`

`y=(-2+7k)/(k+1)`

अब x और y का मान निम्नलिखित समीकरण में रखने पर:

`2x+y-4-0`

या, `2((2+3k)/(k+1))+((-2+7k)/(k+1))-4=0`

या, `(4+6k)/(k+1)+(-2+7k)/(k+1)\-4=0`

या, `4+6k-2+7k-4(k+1)=0`
या, `4+6k-2+7k-4k-4=0`
या, `-2+9k=0`
या, `9k=0`
या, `k=2/9`

इसलिए, अभीष्ट अनुपात = 2 : 9.

प्रश्न 2: x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।

उत्तर: यदि दिये गये बिंदु संरेखी हैं, तो उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल जीरो होगा।

या, `½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2)) = 0`

या, `½ (x(2 – 0) + 1 (0 – y) + 7( y – 2)) = 0`

या, `2x – y + 7y – 14 = 0`

या, `2x + 6y – 14 = 0`

या, `x + 3y – 7 = 0`

आखिरी समीकरण से x और y के बीच का संबंध पता चलता है।

प्रश्न 3: बिंदुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A = (6, -6), B = (3, -7), C = (3, 3)

यदि O केंद्र है, तो OA = OB = OC (त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)

यदि O = (x, y) तब

`OA=sqrt((x-6)^2+(y+6)^2)`

`OB=sqrt((x-3)^2+(y+7)^2)`

`OC=sqrt((x-3)^2+(y-3)^2)`

या, `(x-6)^2+(y+6)^2=(x-3)^2+(y+7)^2`
या, `x^2-12x+36+y^2+12y+36`
`=x^2-6x+9+y^2+14y+49`
या, `x^2-12x+y^2+12y+72`
`=x^2-6x+y^2+14y+58`
या, `x^2-12x-(x^2-6x)`
`=y^2+14y-(y^2+12y)+58-72`
या, `-12x+6x=14y-12y-14`
या, `-6x=2y-14` --------(1)

इसी तरह से,

`(x-3)^2+(y+7)^2`
`=(x-3)^2+(y-3)^2`
या, `(y+7)^2=(y-3)^2`
या, `y^2+14y+49=y^2-6y+9`
या, `14y+49=-6y+9`
या, `14y+6y=9-49`
या, `20y=-40`
या, `y=-2`

समीकरण (1) में y का मान रखने पर:

`-6x=2y-14`
या, `-6x=-4-14=-18`
या, `x=3`

इसलिए, x = 3, y = -2 केंद्र के को-ऑर्डिनेट हैं।