निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास 7.4 Part 3

प्रश्न 6: एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि `(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=1/4` है। `ΔADE` का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना `ΔABC` के क्षेत्रफल से कीजिए।

उत्तर: बिंदु D द्वारा AB को 1 : 3 के अनुपात में बाँटा गया है।

बिंदु E द्वारा AC को उसी अनुपात में बाँटा गया है।

इसलिए, `m_1 = 1` और `m_2 = 3`

बिंदु D के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(m_1x_2+m_2x_1)/(m_1+m_2)`

`=(3xx4+1xx1)/(4)=13/4`

`y=(m_1y_2+m_2y_1)/(m_1+m_2)`

`=(3xx6+1xx5)/(4)=23/4`

बिंदु E के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(1xx7+3xx4)/(4)=19/4`

`y=(1xx2+3xx6)/(4)=5`

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है:

`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`

`= ½ (4(5 – 2) + 1( 2 – 6) + 7( 6 – 5))`

`= ½ (12 – 4 + 7) = 15/2` वर्ग यूनिट

त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल इस तरह निकाला जा सकता है:

`= ½ (x_1(y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2))`

`= ½ (4(23/4 – 5) + 13/4 (5 – 6) + 19/4 (6 – 23/4))`

`= ½ (3 – 13/4 + 19/16)`

`= ½ x 15/16 = 15/32` वर्ग यूनिट

इसलिए, त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का अनुपात = 1 : 16

प्रश्न 7: मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।

(a) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिंदु D के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(1+6)/(2)=7/2`

`y=(4+5)/(2)=9/2`

(b) AD पर स्थित ऐसे बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि `AP : PD= 2:1` हो।

उत्तर: बिंदु P के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(1xx4+2xx7/2)/(2)`

`=(4+7)/(2)=11/2`

`y=(1xx2+2xx9/2)/(2)`

`=(2+9)/(2)=11/2`

उत्तर: बिंदु E के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(1+4)/(2)=5/2`

`y=(4+2)/(2)=3`

त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे सेंट्रॉयड (केंद्रक) कहते हैं। इसलिए बिंदु Q और P को-ऑर्डिनेट समान होंगे। बिंदु Q के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`x=(1xx6+2xx5/2)/(2)=11/2`

`y=(1xx5+2xx3)/(2)=11/2`

(d) आप क्या देखते हैं? (नोट: वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक कहलाता है और वह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।)

उत्तर: बिंदु P, Q और R के को-ऑर्डिनेट समान हैं, जिससे पता चलता है कि माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(e) यदि `A(x_1, y_1)`, `B(x_2, y_2)` और `C(x_3, y_3)` त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो उस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

उत्तर: इस प्रश्न के पिछले भाग में बिंदु P के को-ऑर्डिनेट को देखते हुए सेंट्रॉयड (केंद्रक) के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है।

`x=(x_1+x_2+x_3)/(3)`

`y=(y_1+y_2+y_3)/(3)`

प्रश्न 8: बिंदुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।

उत्तर: बिंदु P के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`((-1-1)/(2), (4-1)/(2))=(-1, 3/2)`

बिंदु Q के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`((5-1)/(2), (4+4)/(2))=(2. 4)`

बिंदु R के को-ऑर्डिनेट का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`((5+5)/(2), (4-1)/(2))=(5, 3/2)`

बिंदु S के को-ऑर्डिनेत का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`((5-1)/(2), (-1-1)/(2))=(2, -1)`

रेखा PQ की लंबाई इस तरह निकाली जा सकती है:

`PQ=sqrt((2+1)^2+(4-3/2)^2)`

`=sqrt(3^2+(5/2)^2)=(sqrt61)/(2)`

इसी तरह, QR की लंबाई इस तरह निकाली जा सकती है:

`OR=sqrt((5-2)^2+(3/2-4)^2)`

`=sqrt(3^2+(-5/2)^2)=(sqrt61)/(2)`

ऊपर निकाले गये मानों से पता चलता है कि RS = PS, यानि सभी भुजाएँ बराबर हैं।

अब हम विकर्ण की लंबाई का पता करेंगे।

`PR=sqrt((5+1)^2+(3/2-3/2)^2)`

`=sqrt6^2=6`

`OS=sqrt((2-2)^2+(-1-4)^2)`

`=sqrt-5^2=5`

यह साफ है कि सभी भुजाएँ बराबर हैं, लेकिन विकर्ण बराबर नहीं है। इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।