निर्देशांक ज्यामिति
अभ्यास 7.1 Part 3
प्रश्न 5: किसी कक्षा में चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि दी गई आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?` चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।
उत्तर: यहाँ पर दिये गये को-ऑर्डिनेट हैं A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) और D (6, 1)
A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) और D (6, 1)
`AB =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 3, x2 = 6, y1 = 4 और y2 = 7
इसलिए, `AB=sqrt((6-3)^2+(7-4)^2)`
`=sqrt(3^2+3^2)=sqrt(9+9)`
`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट
`BC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 6, x2 = 9, y1 = 7 और y2 = 4
इसलिए, `BC=sqrt((9-6)^2+(4-7)^2)`
`=sqrt(3^2+(-3)^2)=sqrt(9+9)`
`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट
`CD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 9, x2 = 6, y1 = 4 और y2 = 1
इसलिए, `CD=sqrt((6-9)^2+(1-4)^2)`
`=sqrt((-3)^2+(-3)^2)=sqrt(9+9)`
`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट
`DA =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 6, x2 = 3, y1 = 1 और y2 = 4
इसलिए, `DA=sqrt((3-6)^2+(4-1)^2)`
`=sqrt((-3)^2+3^2)=sqrt(9+9)`
`=sqrt(18)=3sqrt2` यूनिट
अब हम विकर्णों का मान पता करते हैं।
`AC =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 3, x2 = 9, y1 = 4 और y2 = 4
इसलिए, `AC=sqrt((9-3)^2+(4-4)^2)`
`=sqrt(6^2+0^2)=sqrt(36)=6` यूनिट
`BD =sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)`
यहाँ पर, x1 = 6, x2 = 6, y1 = 1 और y2 = 7
इसलिए, `BD=sqrt((6-6)^2+(1-7)^2)`
`=sqrt(0^2+(-6)^2)=sqrt(36)=6` यूनिट
यहाँ पर, `AB=BC=CD=DA` और `AC=BD`
चूँकि चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए यह साफ है कि ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही कह रही है।