समांतर श्रेढ़ी
अभ्यास 5.3 Part 3
Question 3
(e) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिए गए n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `75 = 9/2(2a + 8 xx 5)`
या, `75 = 9(a + 20)`
या, `75 = 9a + 180`
या, `9a = 75 – 180 = - 105`
या, `3a = - 35`
या, `a = - (35)/3`
अब, 9 वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_9 = a + 8d`
`= - (35)/3 + 40 = (85)/3`
(f) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिए गए n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `90 = n(2 + (n – 1)4)`
या, `90 = n(4n – 2)`
या, `90 = 4n_2 - 2n`
या, `4n_2 - 2n – 90 = 0`
या, `2n_2 - n – 45 = 0`
या, `2n_2 - 10n + 9n – 45 = 0`
या, `2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0`
या, `(2n + 9)(n – 5) = 0`
इस्लिए, `n = - 9/2` और `n = 5`
ऋणात्मक मान को हटाने पर, n = 5
अब, 5 वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_5 = a + 4d`
`= 2 + 4 xx 8`
`= 2 + 32 = 34`
(g) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिए गए n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `210 = n/2(a + a + (n -1)d)`
या, `210 = n/2(8 + 62)`
[चूँकि `a + (n – 1)d = a_n`]
या, `420 = n xx 70`
या, `n = 6`
अब, d का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_6 = a + 5d`
या, `62 = 8 + 5d`
या, `5d = 62 – 8 = 54`
या, `d = (54)/5`
(h) an = 4, d =2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `- 14 = n/2(a + a + (n -1)d)`
या, `- 28 = n(a + 4)`
या, `n = (- 28)/(a + 4)` …… (1)
हम जानते हैं;
`a_n = a + (n – 1)d`
या, `4 = a + (n – 1)2`
या, `4 = a + 2n – 2`
या, `a + 2n = 6`
या, `2n = 6 – a`
या, `n = (6 – a)/2` ……. (2)
समीकरण (1) और (2) से;
`( - 28)/(a + 4) = (6 – a)/2`
या, `- 56 = (6 – a)(a + 4)`
या, `24 + 6a – 4a – a_2 = - 56`
या, `a_2 - 2a – 80 = 0`
या, `a_2 - 10a + 8a – 80 = 0`
या, `a(a – 10) + 8(a – 10) = 0`
या, `(a + 8)(a – 10) = 0`
इसलिए, `a = - 8` और `a = 10`
चूँकि an का मान 10 से कम है और d का मान धनात्मक है इसलिए, a = - 8
इसका उपयोग करते हुए टर्म की संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_n = a + (n – 1)d`
या, `4 = - 8 + (n – 1)2`
या, `(n – 1)2 = 4 + 8 = 12`
या, `n – 1 = 6`
या, `n = 7`
इसलिए, `n = 7` और `a = - 8`
(i) a = 3, n = 8 और Sn = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `192 = 8/2( 2 xx3 + 7d)`
या, `192 = 4(6 +7d)`
या, `6 + 7d = 48`
या, `7d = 42`
या, `d = 6`
(j) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं;
`S=n/2[2a+(n-1)d]`
या, `144 = 9/2(a + a_n)`
या, `288 = 9(a + 28)`
या, `9a + 252 = 288`
या, `9a = 288 – 252 = 36`
या, `a = 4`