समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.3 Part 1

प्रश्न 1: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए:
(a) 2, 7, 12, … 10 पदों तक

उत्तर: दिया गया है, a = 2, d = 5 और n = 10
दिए गये n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

या, `S_(10) = (10)/2(2 xx 2 + (10 – 1)5)`
`= 5(4 + 45)`
`= 5 xx 49 = 245`

इसलिए, दिए गए AP के 10 टर्म का योग = 245

(b) -37, -33, -29, …. 12 पदों तक

उत्तर: दिया गया है, a = - 37, d = 4 और n = 12
दिए गये n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

या, `S_(10) = (12)/2(2(-37) + 11 xx 4)`
`= 6(-74 + 44)`
`= 6(-30) = -180`
इसलिए, दिए गए AP के 12 टर्म का योग = – 180

उत्तर: दिया गया है, a = 0.6, d = 1.1 और n = 100
दिए गये n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

`S_(100) = (100)/2(2 xx 0.6 + 99 xx 1.1)`
`= 50(1.2 + 108.9)`
`= 50 xx 110.1 = 5505`
इसलिए, दिए गए AP के 100 टर्म का योग = 5505

(d)`1/(15)`, `1/(12)`, `1/(10)`, … 11 पदों तक

उत्तर: दिया गया है, `a = 1/(15)`, n = 11

`d = 1/2 – 1/(15) = (5 – 4)/(60) = 1/(60)`
दिए गये n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

`S_(11) = (11)/2(2 xx 1/(15) + 10 xx 1/(60))`
`= (11)/2(2/(15) + 1/6)`
`= (11)/2 xx 9/(30) = (33)/(20)`

प्रश्न 2: नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए:

(a) 7 + 10.5 + 14 + … + 84

उत्तर: दिया गया है, a = 7, d = 3.5 और अंतिम टर्म = 84
टर्म की संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_n =a + (n-1)d`
या, `84 = 7 + (n-1)3.5`
या, `(n-1)3.5 = 84-7`
या, `n - 1 = (77)/(3.5) = 22`
या, `n = 23`

अब, n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

`S_(23) = (23)/2(2 xx 7 + 22 xx 3.5)`
`= (23)/2(14 + 77) = (23)/2 xx 91 = (2093)/2`

(b) 34 + 32 + 30 + …. + 10

उत्तर: दिया गया है, a = 34, d = - 2 और अंतिम टर्म = 10
टर्म की संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_n = a + (n – 1)d`
या, `10 = 34 + (n – 1)(- 2)`
या, `10 = 34 – (n – 1)(2)`
या, `(n – 1)2 = 34 – 10 = 24`
या, `n – 1 = 12`
या, `n = 13`

अब, n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

`S_(13) = (13)/2(2 xx 34 + 12(-2))`
`= (13)/2(68 – 24)`
`= (13)/2 xx 44 = 286`
Thus, sum of given AP = 286

उत्तर: दिया गया है, a = - 5, d = - 3 और अंतिम टर्म = - 230
टर्म की संख्या को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_n = a + (n – 1)d`
या, `- 230 = - 5 + (n – 1)( - 3)`
या, `- 230 = - 5 – (n – 1)3`
या, `(n – 1)3 = - 5 + 230 = 225`
या, `n – 1 = 75`
या, `n = 76`

अब n टर्म के योग को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;

`S=n/2[2a+(n-1)d]`

`S_(76) = (76)/2(2(-5) + 75(-3))`
`= 38(-10 – 225) = 38(-235) = - 8930`