समांतर श्रेढ़ी

NCERT अभ्यास 5.2 Part 1

प्रश्न 1: निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A. P. का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है:

उत्तर:(i) दिया गया है a = 7, d = 3 और n = 8, इसलिए a_n = ?
हम जानते हैं `a_n = a + (n – 1)d`
इसलिए, `a_n = 7 + (8 – 1)3 = 7 + 21 = 28`

(ii) दिया गया है a = - 18, n = 10, a_n = 0, d = ?
हम जानते हैं `a_n = a + (n – 1)d`
इसलिए, `0 = - 18 + (10 – 1)d`
या, `0 = - 18 + 9d`
या, `9d = 18`
या, `d = (18)/9 = 2`

(iii) दिया गया है d = - 3, n = 18, a_n = - 5, a = ?
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `- 5 = a + (18 – 1) (- 3)`
या, `- 5 = a – 51`
या, `a = - 5 + 51 = 46`

(iv) दिया गया है a = - 18.9, d = 2.5, an = 3.6, n = ?
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5`
या, `2.5(n – 1) = 3.6 + 18.9 = 22.5`
या, `n – 1 = (22.5)/(2.5) = 9`
या, `n = 9 + 1 = 10`

(v) दिया गया है a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = ?
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `a_n = 3.5 + (104 – 1)0`
या, `a_n – 3.5 + 0 = 3.5`

प्रश्न 2: निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

1. A. P.: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद है:

1. 97
2. 77
3. -77
4. -87

उत्तर: (c) – 77

व्याख्या: यहाँ, a = 10, d = – 3 और n = 30
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `a_(30) = 10 + (30 – 1)(- 3)`
`= 10 – 87 = - 77`

2. A. P.: -3, `-1/2`, 2, … का 11वाँ पद है:

1. 28
2. 22
3. -38
4. -48.5

उत्तर: (b) 22

व्याख्या: यहाँ, a = - 3, d = 5/2 and n = 11
हम जानते हैं, `a_n = a + (n – 1)d`
या, `a_11 = - 3 + (11 – 1) 5/2`
`= - 3 + 10 xx 5/2 = - 3 + 25 = 22`

प्रश्न 3: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त स्थानों के पदों को ज्ञात कीजिए:

(a) 2, …, 26

उत्तर: हम जानते हैं कि किसी AP में, मध्य टर्म अन्य तो टर्म के औसत के बराबर होता है।
इसलिए, मध्य टर्म `= (2 + 26)/2 = (28)/2 = 14`
इसलिए, दिये गए AP को इस प्रकार लिखा जा सकता है = 2, 14, 26

(b) ...., 13, …., 3

उत्तर: यहाँ, 13 और 3 के बीच का मध्य टर्म `= (13 + 3)/2 = (16)/2 = 8`
अब, `a_4 – a_3 = 3 – 8 = - 5`
`a_3 – a_2 = 8 – 13 = - 5`
`a_2 – a_1 = - 5`
या, `13 – a_1 = - 5`
या, `a_1 = 13 + 5 = 18`
इसलिए, दिए गए AP को इस तरीके से लिखा जा सकता है = 18, 13, 8, 3

(c) 5, …, …, 9.5

उत्तर: दिया गया है, a = 5 और `a_4 = 9\1/2`
सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
`a_4 = a + 3d`
या, `9.5 = 5 + 3d`
या, `3d = 9.5 – 5 = 4.5`
या, `d = (4.5)/3 = 1.5`
अब दूसरे और तीसरे टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
`a_2 = a + d`
`= 5 + 1.5 = 6.5`
इसलिए, अब AP को इस तरह लिखा जा सकता है; 5, 13/2, 8, 19/2

(d) -4, …., ….., …., …., 6

उत्तर: दिया गया है, a = - 4 और a₆ = 6
सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है:
`a_6 = a + 5d`
या, `6 = -4 + 5d`
या, `5d = 6 + 4 = 10`
या, `d = 2`

इस AP के अगले उतरोत्तर टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_2 = a + d = - 4 + 2 = - 2`
`a_3 = a + 2d = - 4 + 4 = 0`
`a_4 = a + 3d = - 4 + 6 = 2`
`a_5 = a + 4d = - 4 + 8 = 4`
इसलिए, इस AP को इस तरह से लिखा जा सकता है: - 4, - 2, 0, 2, 4, 6

(e) ...., 38, …., …., …., -22

उत्तर: मान लीजिए कि 38 पहला टर्म है और – 22 पाँचवा टर्म है।
अब सार्व अंतर को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_5 = a + 4d`
या, `- 22 = 38 + 4d`
या, `4d = - 22 – 38 = - 60`
या, `d = - 15`
यदि 38 दूसरा टर्म हो, तो पहले टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a = a_2 – d = 38 + 15 = 53`

तीसरे, चौथे और पाँचवे टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`a_3 = a + 2d = 53 + 2(- 15) = 53 – 30 = 23`
`a_4 = a + 3d = 53 – 45 = 8`
`a_5 = a + 4d = 53 – 60 = - 7`
इसलिए, इस AP को इस तरीके से लिखा जा सकता है: 53, 38, 23, 8, - 7, - 22

प्रश्न 4: A. P.: 3, 8, 13, 18, …. का कौन सा पद 78 है?

उत्तर: दिया गया है, a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5, a_n = 78, n = ?
हम जानते हैं `a_n = a + (n – 1)d`
या, `78 = 3 + (n – 1)5`
या, `(n – 1)5 = 78 – 3 = 75`
या, `n – 1 = 15`
या, `n = 15 + 1 = 16`
इसलिए, 78 दिए गए AP का 16वाँ टर्म है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?

(a) 7, 13, 19, …., 205

उत्तर: दिया गया है, a = 7, d = 6, a_n = 205, n = ?
हम जानते हैं; `a_n = a + (n – 1)d`
या, `205 = 7 + (n – 1)6`
या, `(n – 1)6 = 205 – 7 = 198`
या, `n – 1 = 33`
या, `n = 34`
इसलिए, 205 दिये गये AP का 34वाँ टर्म है।

(b) 18, 15.5, 13, …, -47

उत्तर: दिया गया है, a = 18, d = 15.5 – 18 = - 2.5
हम जानते हैं; `a_n = a + (n – 1)d`
या, `- 47 = 18 + (n – 1)(- 2.5)`
या, `(n – 1)(- 2.5) = - 47 – 18 = - 65`
या, `n – 1 = 26`
या, `n = 27`
इसलिए, - 47 दिये गए AP का 27वाँ टर्म है।