समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास 5.1 Part 3

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन-कौन A. P. हैं? यदि कोई A. P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

(a) 2, 4, 8, 16, …

उत्तर: हम जानते हैं कि यदि k के हर मान के लिए `a_(k+1) – a_k` का मान समान होता है तो दी गई सीरीज एक AP.होती है।
दिया गया है, `a_1 = 2`, `a_2 = 4`, `a_3 = 8` और `a_4 = 16`
`a_4 – a_3 = 16 – 8 = 8`
`a_3 – a_2 = 8 – 4 = 5`
`a_2 – a_1 = 4 – 2 = 2`
यहाँ, k के हर मान के लिए `a_(k+1) – a_k` का मान समान नहीं है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP.नहीं है।

(b) 2, `5/2`, 3, `7/2`, …

उत्तर: दिया गया है, a₁ = 2, a₂ = 5/2, a₃ = 3 और a₄ = 7/2
`a_4 - a_3 = 7/2 – 3 = 1/2`
`a_3 - a_2 = 3 – 5/2 = 1/2`
`a_2 - a = 5/2 – 2 = 1/2`
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP है।
सार्व अंतर = `1/2`

इस सीरीज के अगले तीन टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`a_5 = a + 4d = 2 + 4 xx 1/2 = 4`
`a_6 = a + 5d = 2 + 5 xx 1/2 = 9/2`
`a_7= a + 6d = 2 + 6 xx 1/2 = 5`
इस AP के अगले तीन टर्म = 4, `9/2` और 5

(c) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = - 7.2 + 5.2 = - 2
a₃ – a₂ = - 5.2 + 3.2 = - 2
a₂ – a₁ = - 3.2 + 1.2 = - 2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, दी गई सीरीज AP है।
सार्व अंतर = - 2

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d
= -1.2 + 4 × (-2)
= -1.2 - 8 = -9.2
a₆ = a + 5d
= -1.2 + 5 × (-2)
= -1.2 - 10 = -11.2
a₇ = a + 6d
= -1.2 + 6 × (-2)
= -1.2 - 12 = -13.2
इस AP के अगले तीन टर्म = - 9.2, - 11.2 और – 13.2

(d) -10, -6, -2, 2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 2 + 2 = 4
a₃ – a₂ = - 2 + 6 = 4
a₂ – a₁ = - 6 + 10 = 4
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
सार्व अंतर् = 4

इस AP के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d
= -10 + 4 × 4
= -10 + 16 = 6
a₆ = a + 5d
= -10 + 5 × 4
= -10 + 20 = 10
a₇ = a + 6d
= -10 + 6 × 4
= -10 + 24 = 14
इस AP के अगले तीन टर्म = 6, 10 और 14.

(e) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 3 + 3√2 – 3 - 2√2 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – 3 - √2 = √2
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
सार्व अंतर = √2

इस AP के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = 3 + 4√2
a₆ = a + 5d = 3 + 5√2
a₇ = a + 6d = 3 + 6√2
इस AP के अगले तीन टर्म = 3 + 4√2, 3 + 5√2 और 3 + 6√2

(f) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(g) 0, -4, -8, -12, ….

उत्तर: Here; a₄ – a₃ = - 12 + 8 = - 4
a₃ – a₂ = - 8 + 4 = - 4
a₂ – a₁ = - 4 – 0 = - 4
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = 0 + 4(- 4) = - 16
a₆ = a + 5d = 0 + 5(- 4) = - 20
a₇ = a + 6d = 0 + 6(- 4) = - 24
इस सीरीज के अगले तीन टर्म = - 16, - 20 and – 24

(h) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, ….

उत्तर: यह साफ है कि d = 0
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज AP है।
अगले तीन टर्म एक जैसे होंगे, यानि. – ½

(i) 1, 3, 9, 27, …..

उत्तर: a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(j) a, 2a, 3a, 4a, ….

उत्तर: a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₂ – a₁ = 2a – a = a
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं।
a₅ = a + 4d = a + 4a = 5a
a₆ = a + 5d = a + 5a = 6a
a₇ = a + 6d = a + 6a = 7a
सीरीज के अगले तीन टर्म = 5a, 6a and 7a.

(k) a, a², a³, a⁴, …

उत्तर: यहाँ, उतरोत्तर टर्म में घातांक बढ़ रहा है।
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(l) √2, √8, √18, √32, …

उत्तर: इस AP के टर्म को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
√2, 2√2, 3√2, 4√2, ………..
a₄ – a₃ = 4√2 - 3√2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 - 2√2 = √2
a₂ – a₁ = 2√2 - √2 = √2
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान है।
इसलिए, यह सीरीज एक AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d = √2 + 4√2 = 5√2
a₆ = a + 5d = √2 + 5√2 = 6√2
a₇ = a + 6d = √2 + 6√2 = 7√2
सीरीज के अगले तीन टर्म = 5√2, 6√2 and 7√2

(m) √3, √6, √9, √12, …

उत्तर: a₄ – a₃ = √12 - √9 = 2√3 – 3
a₃ – a₂ = √9 - √6 = 3 - √6
a₂ – a₁ = √6 - √3
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(n) 1², 3², 5², 7², …

उत्तर: इस सीरीज को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
1, 9, 25, 49, …………
इसलिए, a₄ – a₃ = 49 – 25 = 24
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
यहाँ, k के हर मान के लिए a_k+1 – a_k का मान समान नहीं है।
इसलिए, यह सीरीज AP नहीं है।

(o) 1², 5², 7², 73, …

उत्तर: इस सीरीज को निम्न तरीके से भी लिखा जा सकता है;
1, 25, 49, 73, ….
इसलिए; a₄ - a₃ = 73 – 49 = 24
a₃ - a₂ = 49 – 25 = 24
a₂ - a = 25 – 1 = 24
यहाँ, k के हर मान के लिए a_{k + 1} - a_k का मान समान है।
इसलिए यह सीरीज एक AP है।

इस सीरीज के अगले तीन टर्म निम्न तरीके से निकाले जा सकते हैं;
a₅ = a + 4d = 1 + 4 X 24 = 97
a₆ = a + 5d = 1 + 5 X 24 = 121
a₇ = a + 6d = 1 + 6 x 24 = 145
इस AP के अगले तीन टर्म = 97, 121 और 145