रैखिक समीकरण

NCERT अभ्यास 3.4 Part 2

प्रश्न 2: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए।

(a) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह ½ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

उत्तर: मान लीजिए कि अंश x है हर y है। प्रश्न के अनुसार;

`(x+1)/(y-1)=1`

या, `x+1=y-1`

या, `y=x+2`

या, `y-x=2`

दूसरे शर्त से निम्नलिखित समीकरण बनता है;

`(x)/(y+1)=1/2`

या, `2x=y+1`

या, `y=2x-1`

या, `2x-y=1`

या, `-y+2x=1`

पहले और दूसरे समीकरण को जोड़ने पर;

`y-x+(-y+2x)=2+1`

या, `y-x-y+2x=3`

या, `x=3`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`y – x = 2`
या, `y – 3 = 2`
या, `y = 5`
इसलिए अभीष्ट भिन्न `= 3/5`

(b) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?

उत्तर: मान लीजिए कि नूरी की आयु = x है और सोनू की आयु = y है। इससे निम्नलिखित समीकरण बनते हैं।

पाँच वर्ष पहले;
नूरी की आयु `= x – 5` और सोनू की आयु `= y – 5`
`x – 5 = 3(y – 5)`
या, `x – 5 = 3y – 15`
या, `x = 3y - 15 + 5`
या, `x = 3y - 10` ………(1)

आज से दस वर्ष बाद;
नूरी की आयु `= x + 10` और सोनू की आयु `= y + 10`
`x + 10 = 2(y + 10)`
या, `x + 10 = 2y + 20`
या, `x = 2y + 20 - 10`
या, `x = 2y + 10` …….(2)

दोनों समीकरण से;
या, `3y - 10 = 2y + 10`
या, `3y = 2y + 10 + 10 = 2y + 20`
या, `y = 20`
इसलिए, `x = 2y + 10 = 50`
नूरी की आयु = 50 वर्ष और सोनू की आयु = 20 वर्ष

(c) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक अंक x है और दूसरा अंक y है।

`x + y = 9` ……..(2)

दी गई संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है;
`10x + y`

अंकों पलटने से मिलने वाली संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है;
`10y + x`

प्रश्न के अनुसार;
`9(10x + y) = 2(10y + x)`
या, `90x + 9y = 20y + 2x`
या, `90x – 2x = 20y – 9y`
या, `88x = 11y`
या, `88x – 11y = 0` …….. (2)

पहले समीकरण को 11 से गुना करने पर;
`11x + 11y = 99`

इस समीकरण को दूसरे समीकरण से जोड़ने पर;
`88x – 11y + 11x + 11y = 99`
या, `99x = 99`
या, `x = 1`

पहले समीकरण में x का मान रखने पर;
`x + y = 9`
या, `1 + y = 9`
या, `y = 8`
इसलिए अभीष्ट संख्या = 18

(d) मीना 2000 रु निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु तथा 100 रु के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु और 100 रु के कितने कितने नोट प्राप्त किए।

उत्तर: मान लीजिए कि 50 रु के नोट की संख्या = x है और 100 रु के नोट की संख्या = y है।

नोटों की कुल संख्या `= x + y = 25` ……..(1)
कुल राशि `= 50x + 100y = 2000` …….. (2)

पहले समीकरण को 50 से गुना करने पर;
`50x + 50y = 1250`

इस समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर;
`50x + 100y – 50x – 50y = 2000 – 1250`
या, `50y = 750`
या, `y = 15`

पहले समीकरण में y का मान रखने पर;
`x + y = 25`
या, `x + 15 = 25`
या, `x = 10`
इसलिए 50 रु के नोट की संख्या = 10 और 100 रु के नोट की संख्या = 15

(e) किराए पर पुस्तक देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु अदा किए, जबकी सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए 21 रु अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि नियत किराया = x है और तिन दिनों के बाद प्रतिदिन का किराया = y है।

सरिता द्वारा दी गई राशि;
`x + 4y = 27` …… (1)

सूसी द्वारा दी गई राशि;
`x + 2y = 21` …….. (2)

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर;
`x + 4y – x – 2y = 27 – 21`
या, `2y = 6`
या, `y = 3`

दूसरे समीकरण में y का मान रखने पर;
`x + 2y = 21`
या, `x + 2 x 3 = 21`
या, `x = 21 – 6 = 15`
इसलिए तीन दिनों का नियत किराया = 15 रु और तीन दिनों के बाद प्रतिदिन का किराया = 3 रु