वृत्त

अभ्यास 6

Part 1

प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

उत्तर: इस आकृति में दो वृत्त दिखाए गए हैं जिनके केंद्र O और O' हैं दोनों वृत्त बिंदु P और Q पर आपस में काटते हैं।

सिद्ध करना है: ∠OPO' = ∠OQO'

ΔOPO' और ΔOQO' में

OP = OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

O'P = O'Q (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OO' = OO' (उभयनिष्ठ भुजा)

So, ΔOPO' ≅ ΔOQO' (SSS प्रमेय)

So, ∠OPO' = ∠OQO' सिद्ध हुआ

प्रश्न 2: एक वृत्त की 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बी दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस आकृति में केंद्र O पर बने वृत्त को दिखाया गया है जिसमें, AB और CD समांतर जीवाएँ हैं। AB = 5 cm, CD = 11 cm और AB तथा CD के बीच की लम्बवत दूरी 6 cm है।

AB और CD के बीच की लम्बवत दूरी PQ खींचिए ताकि यह रेखा केंद्र O से होकर जाती हो। अब A और C को O से मिलाइए।

Δ APO में

AP = `(AB)/2=2.5` cm (केंद्र से जीवा पर लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)

`OA=r`

`OP=6-x` (If `OQ=x`)

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

OA² - OP² = AP²

या, `r^2-(6-x)^2=2.5^2`

या, `r^2-(36+x^2-12x)=6.25`

या, `r^2-36-x^2+12x=6.25`

या, `r^2=6.25+36+x^2-12x`………………(1)

ΔCQO में

`CQ=(CD)/2=5.5` cm (केंद्र से जीवा पर लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)

`OQ =x`

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

OC² = OQ² + CQ²

या, `r^2=x^2+5.5^2`

या, `r^2=x^2+30.25` ……………..(2)

समीकरण (1) और (2) से

`x^2+30.25=x^2-12x+42.25`

या, `-12x+42.25=30.25`

या, `-12x=30.25-42.25=-12`

या, `x=1`

अब x का मान समीकरण (1) और (2) में रखकर हम r का मान इस तरह निकाल सकते हैं

`r^2=1^2+30.25=31.25`

या, `r=sqrt(31.25)=5.57` (approx)

प्रश्न 3: किसी वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूर है?

उत्तर: प्रश्न में यह साफ नहीं है कि दोनों जीवाएँ केंद्र के एक तरफ हैं या फिर विपरीत तरफ। हम दोनों ही स्थितियों में प्रश्न को हल करेंगे।

इस आकृति में केंद्र O पर बना एक वृत्त दिखाया गया है जिसमें दो समांतर जीवाएँ AB और CD केंद्र के एक ही तरफ हैं। केंद्र से AB की दूरी 4 cm है।

ΔAPO में

AO² = AP² + PQ²

या, `r^2=3^2+4^2`

(AP = `6/2=3` cm क्योंकि PO जीवा AB का लम्ब समद्विभाजक है।)

या, `r^2=9+16=25`

या, `r=5` cm

ΔCQO में

OQ² = CO² - CQ²

या, `OQ^2=r^2-4^2`

(CQ = `8/2=4` क्योंकि OQ जीवा CD का लम्ब समद्विभाजक है।)

या, `OQ^2=5^2-4^2=25016-9`

या, OQ = 3 cm

अब मान लीजिए कि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, जैसा कि इस आकृति में दिखाया गया है।

ΔAPO में

AP = 3 cm और OP = 4 cm

AO² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

या, AO = 5 cm

ΔCQO में

CQ = 4 cm और CO = 5 cm (त्रिज्या)

OQ² = CO² - CQ²

= 5² - 4² = 25 – 16 = 9

या, OQ = 3 cm

प्रश्न 4: मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा हैं।

उत्तर: इस आकृति में ∠ABC को दिखाया गया जिसकी भुजाएँ क्रमश: D और E तक बढ़ाई गई हैं ताकि AD और CE वृत्त की बराबर जीवाएँ हैं।

सिद्ध करना है: ∠ABC = `1/2` (∠DOE - ∠AOC)

अब A को E से मिलाइए

प्रमाण: ΔBAE में

∠DAE = ∠ABC = ∠AEC ………….(1)

(त्रिभुज का बहिष्कोण सामने वाले दो अंत:कोणों के योग के बराबर होता है)

जीवा DE द्वारा केंद्र पर ∠DOE बनता है और वृत्त के शेष भाग में ∠DAE बनता है

इसलिए, ∠DAE = `1/2` ∠DOE ……..(2)

इसी तरह, ∠AEC = `1/2` ∠AOC ………….(3)

समीकरण (1), (2) और (3)

`1/2∠DO\E=∠AB\C+1/2∠AO\C`

या, `∠AB\C=1/2∠DO\E-1/2∠AO\C`

या, `∠AB\C=1/2(∠DO\E-∠AO\C)` Proved

प्रश्न 5: सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है।

उत्तर: इस आकृति में एक समचतुर्भुज ABCD दिखाया गया है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं।

अब AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचिए। अब PQ||DA और RS||AB खींचिए। PQ और RS दोनों बिंदु O से गुजरते हैं। अब P, Q, R और S क्रमश्ळ DC, AB, AD और BC के मध्य बिंदु हैं।

चूँकि AB का मध्यबिंदु Q है

इसलिए, AQ = QB ………(1)

चूँकि AD = BC (समचतुर्भुज की भुजाएँ)

इसलिए, `1/2AD=1/2BC`

या, RA = OQ ………(2)

चूँकि PQ और AD समांतर हैं तथा AD = BC

इसलिए, AB = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)

या, `1/2AB=1/2AD`

या, AQ = AR ………….(2)

समीकरण (1), (2) और (3)

AQ = QB = OQ

इसका मतलब है कि Q को केंद्र मानकर वृत्त खींचने से यह वृत्त A, B और O से होकर जाएगा। इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त समचतुर्भुज ABCD के विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु O से होकर गुजरता है।