प्रायिकता
अभ्यास 15.1
प्रश्न 1: एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: चौकों की संख्या = 6
गेंदों की संख्या = 30
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=6/(30)=1/5`
प्रश्न 2: 2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छ्या चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिखे लिए गए हैं।
| परिवार में लड़कियों की संख्या | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| परिवारों की संख्या | 475 | 814 | 211 |
यदृच्छ्या चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें
(a) दो लड़कियाँ हों
उत्तर: 2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या = 475
परिवारों की कुल संख्या = 1500
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=(475)/(1500)=(19)/(60)`
(b) एक लड़की हो
उत्तर: 1 लड़की वाले परिवारों की संख्या = 814
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=(814)/(1500)=(407)/(750)`
(c) कोई लड़की न हो
उत्तर: परिवारों की संख्या जहाँ 1 भी लड़की न हो = 211
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=(211)/(1500)`
साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
उत्तर: `(475)/(1500)+(814)/1500)+(211)/(1500)`
`=(1500)/(1500)=1`
प्रश्न 3: अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: छात्रों की कुल संख्या = 40
अगस्त में जन्म लेने वाले छात्रों की संख्या = 6
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=6/(40)=3/(20)`
प्रश्न 4: तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैं:
| परिणाम | 3 चित | 2 चित | 1 चित | कोई भी चित नहीं |
|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 23 | 72 | 77 | 28 |
यदि तीनों सिक्कों को पुन: एक साथ उछाला जाए, तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: टॉस की कुल संख्या = 200
दो चित आने की संख्या = 72
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=(72)/(200)=9/(25)`
प्रश्न 5: एक कंपनी ने यदृच्छ्या 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| मासिक आय (रु में) | प्रति परिवार वाहनों की संख्या | |||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 2 से अधिक | |
| 7000 से कम | 10 | 160 | 25 | 0 |
| 7000 – 10000 | 0 | 305 | 27 | 2 |
| 10000 – 13000 | 1 | 535 | 29 | 1 |
| 13000 – 16000 | 2 | 469 | 59 | 25 |
| 16000 या इससे अधिक | 1 | 579 | 82 | 88 |
मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने हुए परिवार
(a) की आय रु 10000 – 13000 के अंतराल में है और उसके पास केवल दो वाहन हैं।
उत्तर: परिवारों की कुल संख्या = 2400
रु 10000 – 13000 प्रति माह आय वाले ऐसे परिवारों की संख्या जिनके पास दो वाहन हैं = 29
P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटी है ÷ अभिप्रयोगों की कुल संख्या
`=(29)/(2400)`
(b) की आय प्रति माह रू 16000 से अधिक है और उसके पास केवल एक वाहन है।
उत्तर: रु 16000 प्रति माह आय और 1 वाहन वाले परिवारों की संख्या = 579
इसलिए, P(E) `=(579)/(2400)`
(c) की आय रु 7000 प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
उत्तर: रु 7000 प्रति माह से कम आय और बिना वाहन के परिवारों की संख्या = 10
इसलिए, P(E) `=(10)/(2400)=1/(240)`
(d) की आय रु 13000 – 16000 के अंतराल में है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
उत्तर: रु 13000 – 16000 प्रति माह से अधिक आय और दो से अधिक वाहनों वाले परिवारों की संख्या = 25
इसलिए, P(E) `=(25)/(2400)=1/(96)`
(e) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
उत्तर: 1 से अधिक वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या
= 10 + 1 + 2 + 1 + 160 + 305 + 535 + 469 + 579 = 2062
इसलिए, P(E) `=(2062)/(2400)=(1031)/(1200)`
प्रश्न 6: अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।
(a) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: छात्रों की कुल संख्या = 90
पूर्णांक = 100
20% से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 27
इसलिए, P(E) `=(27)/(90)=3/(10)`
(b) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 60 या इससे अधिक अंक वाले छात्रों की संख्या = 23
इसलिए, P(E) `=(23)/(90)`
प्रश्न 7: सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:
| मत | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| पसंद करते हैं | 135 |
| पसंद नहीं करते हैं | 65 |
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छ्या चुना गया विद्यार्थी
(a) सांख्यिकी पसंद करता है
उत्तर: छात्रों की कुल संख्या = 200
सांख्यिकी पसंद करने वाले छात्रों की संख्या = 135
इसलिए, P(E) =(135)/(200)=(27)/(40)`
(b) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है
उत्तर: सांख्यिकी पसंद नहीं करने वाले छात्रों की संख्या = 65
इसलिए, P(E) `=(65)/(200)=(13)/(40)`
प्रश्न 8: प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर
(a) अपने कार्यस्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहती है?
उत्तर: इंजीनियर की कुल संख्या = 40
7 किमी या इससे क्म दूरी पर रहने वालों की संख्या = 9
इसलिए, P(E) `=9/(40)`
(b) अपने कार्यस्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहती है?
उत्तर: 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहने वालों की संख्या = 31
इसलिए, P(E) `=(31)/(40)`
(c) अपने कार्यस्थल से ½ किमी या इससे कम दूरी पर रहती है?
उत्तर: आधा किमी या इससे कम दूरी पर रहने वालों की संख्या = 0
इसलिए, P(E) = 0
प्रश्न 9: क्रियाकलाप: अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय अंतराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता निकालिए।
उत्तर: स्वयं कीजिए
प्रश्न 10: क्रियाकलाप: आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छ्या चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।
उत्तर: स्वयं कीजिए
प्रश्न 11: आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 किग्रा अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (किग्रा में) हैं:
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
यदृच्छ्या चुनी गई एक थैली में 5 किग्रा से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर: थैलियों की कुल संख्या = 11
5 किग्रा से कम वाली थैलियों की संख्या = 2
5 किग्रा से अधिक वाली थैलियों की संख्या 7
इसलिए, P(E) `=7/(11)`
प्रश्न 12: प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाईऑक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12 – 0.16) में सल्फर डाईऑक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दिनों की कुल संख्या = 30
0.12 – 0.16 (ppm) सल्फर डाईऑक्साइड वाले दिनों की संख्या = 2
इसलिए, P(E) `=2/(30)=1/(15)`
प्रश्न 13: प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छ्या चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर: छात्रों की कुल संख्या = 30
AB रक्त समूह वाले छात्रों की संख्या = 3
इसलिए, P(E) `=3/(30)=1/(10)`