हीरोन फॉर्मूला

अभ्यास 12.1

प्रश्न 1: एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

उत्तर: दिया हुआ है: परिमाप = 180 cm

इसलिए, s = `(180)/2=90` cm

भुजा = `(180)/3=60` cm

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(90(90-60)^3)`

`=sqrt(90xx30^3)`

`=sqrt(30^4xx3)`

`=30^2sqrt3=900sqrt3`

प्रश्न 2: किसी फ्लाइओवर की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाईयाँ 122 मी, 22 मी और 120 मी हैं। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु प्रति वर्ग मी की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

उत्तर: दिया हुआ है a = 122 m, b = 22 m, और c = 120 m

दर = Rs. 5000 प्रति वर्ग मी प्रति वर्ष

`s=(a + b + c)/2= (122 + 22 + 120)/2`

`=(264)/2 = 132`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(132(132-122)(132-22)(132-120))`

`=sqrt(132xx10xx110xx12)`

`=sqrt(11xx12xx10xx11xx10xx12)`

`=sqrt(11^2xx12^2xx10^2)`

`=11xx12xx10=1320` sq m

`Co\st=Ar\ea\xx\Ra\te\xx\Ti\me`

`=1320xx5000xx3/(12)` =Rs. 1,650,000

प्रश्न 3: किसी पार्क में एक फिसल पट्टी बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 मी, 11 मी और 6 मी हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है a = 15, b = 11 और c = 6

`S = (a + b + c)/2 = (15 + 11 + 6)/2`

`=(32)/2 = 16`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(16(16-15)(16-11)(16-10))`

`=sqrt(16xx1xx5xx10)`

`=sqrt(4xx4xx5xx5xx2)`

`=4xx5sqrt2=20sqrt2` sq m

प्रश्न 4: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं तथा उसका परिमाप 42 सेमी है।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप = 42 cm, a = 18 cm, b = 10 cm और c = ?

c का मान = Perimeter – (a + b) = 42 – (18 + 10)

= 42 – 28 = 14 cm

`s=(42)/2=21`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(21(21-18)(21-14)(21-10))`

`=sqrt(21xx3xx7xx11)`

`=sqrt(3^2xx7^2xx11)=21sqrt(11)` sq cm

प्रश्न 5: एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 सेमी है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप = 540 cm और a : b : c = 12 : 17 : 25

भुजाओं का मान इस तरह निकाला जा सकता है:

`12x+17x+25x=540`

या, `54x=540`

या, `x=10`

इसलिए, `a = 120, b = 170 और c = 250`

अब, `s=(540)/2=270`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(270(270-120)(270-170)(270-250))`

`=sqrt(270xx150xx100xx20)`

`=sqrt(10xx27xx10xx15xx10xx2)`

`=sqrt(10^4xx3^4)``=10^2xx3^2=900` sq cm

प्रश्न 6: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया हुआ है, परिमाप = 30 cm, a = 12, b = 12 और c = ?

C का मान = 30 – (12 + 12) = 30 – 24 = 6 cm

`S=(30)/2=15`

क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt(15(15-12)(15-12)(15-6))`

`=sqrt(15xx3xx3xx9)=9sqrt(15)` sq cm