चतुर्भुज
अभ्यास 1
Part 1
प्रश्न 1: एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5: 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग = 360°
इसलिए, `3x + 5x + 9x + 13x = 360°`
या, `30x = 360°`
या, `x = 12°`
इसलिए, `3x = 36°`, `5x = 60°`, `9x = 108°` और `13x = 156°`
प्रश्न 2: यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
उत्तर: इस समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण बराबर हैं।
इसलिए, ΔABC ≅ ΔADC ≅ ΔABD ≅ ΔBCD
इसलिए, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
यहाँ पर चारों कोण समकोण हैं, इसलिए दिया गया समांतर चतुर्भुज एक आयत है।
प्रश्न 3: दर्शाइए कि यदि के चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
उत्तर: चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। सिद्ध करना है AB = BC = CD = AD
ΔAOB और ΔAOD में
DO = OB (O मध्य बिंदु है)
AO = AO (साझा भुजा)
∠AOB = ∠AOD (समकोण)
इसलिए, ΔAOB≅ ΔAOD
इसलिए, AB = AD
इसी तरह AB = BC = CD = AD भी सिद्ध किया जा सकता है, जिसका मतलब है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 4: दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इस प्रश्न के लिए पिछ्ले प्रश्न वाली फिगर का इस्तेमाल करते हैं।
उत्तर: दी गई आकृति में मान लीजिए ∠DAB = 90°
इसलिए, ∠DAO = ∠BAO = 45°
इसलिए, ∠AOD = 90°
DO = AO (समान कोणों की सामने की भुजाएँ)
इसी तरह AO = OB = OC भी सिद्ध किया जा सकता है। इससे सिद्ध होता है कि वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं।
प्रश्न 5: दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
उत्तर: इस प्रश्न के लिए पिछ्ले प्रश्न वाली फिगर का इस्तेमाल करते हैं।
यदि DO = AO
तो ∠DAO = ∠BAO = 45°
(बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)
इससे पता चलता है कि चारों कोण समकोण हैं। इसलिए यह एक वर्ग है।
प्रश्न 6: एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।दर्शाइए कि
- यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
- ABCD एक समचतुर्भुज है।
उत्तर: ΔADC और ΔCBA में
∠DAC = ∠BCA (एकांतर कोण)
∠DCA = ∠BAC (एकांतर कोण)
∠DAC = ∠BAC (दिया गया है)
इसलिए, ∠DCA = ∠DAC
इसलिए, DA = DC
इसलिए, ABCD समचतुर्भुज सिद्ध हुआ
प्रश्न 7: ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
नोट: इस प्रश्न को हल करने के लिए पिछ्ले प्रश्न का फिगर इस्तेमाल होता
उत्तर: ΔAOD और ΔAOB में
AO = AO (साझा भुजा)
AD = AB (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
DO = OB (समतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।)
इसलिए, ΔAOD ≅ ΔAOB
इसलिए, ∠DAO = ∠BAO
इसी तरह निम्नलिखित को सिद्ध किया जा सकता है:
∠DCO = ∠BCO
∠ADO = ∠CDO
∠ABO = ∠CBO
प्रश्न 8: ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
- ABCD एक वर्ग है
- विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
उत्तर: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC कोण ∠DAB को समद्विभाजित करता है।
ΔADC और ΔABC में
∠DAC = ∠BAC (विकर्ण इन कोणों को समद्विभाजित कर रहा है)
AC = AC (साझा भुजा)
AD = BC (समांतर चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं)
इसलिए, ΔADC ≅ ΔABC
इसलिए, ∠DCA = ∠BCA
इससे सिद्ध होता है कि AC कोण ∠DCB को भी समद्विभाजित करता है।
अब मान लीजिए कि एक अन्य विकर्ण DB विकर्ण AC को O पर काटता है।
चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए विकर्ण DB और AC परस्पर समद्विभाजक हैं।
ΔAOD और ΔBOD में
∠DAO = ∠DCO
(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं इसलिए उनके आधे भी बराबर होंगे।)
AO = CO और DO = DO
इसलिए ΔAOD ≅ ΔBOD
इसलिए, ∠DOA = ∠DOB=90°
चूँकि विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब हैं इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।