चतुर्भुज

अभ्यास 1

Part 2

प्रश्न 9: समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण ED पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है।दर्शाइए कि

1. ΔAPD ≅ ΔCQB
2. AP = CQ
3. ΔAQB ≅ ΔCPD
4. AQ = CP
5. APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

उत्तर: ΔAPD और ΔCQB में

DP = BQ (दिया गया है)

AD = BC (सम्मुख भुजाएँ)

∠DAP = ∠BCQ (सम्मुख कोण के आधे भी बराबर होंगे।)

इसलिए, ΔAPD ≅ ΔCQB

इसलिए, AP = CQ सिद्ध हुआ

अब, ΔAQB और ΔCPD में

AB = CD (समुख भुजाएँ)

DP = BQ (दिया गया है)

∠BAQ = ∠DCP (सम्मुख कोण के आधे भी बराबर होंगे।)

इसलिए, ΔAQB ≅ ΔCPD

इसलिए, AQ = CP सिद्ध हुआ

इसलिए, ∠DPA = ∠BQP

(सर्वांगसम त्रिभुज APD और CQB के संगत कोण)

ΔDQP और ΔBQP में

∠DPQ = ∠BQP

(पिछले प्रमाण से)

DP = BQ (दिया गया है)

PQ = PQ (साझा भुजा)

इसलिए, ΔDQP ≅ ΔBQP

इसलिए, ∠QDP = ∠QBP

बराबर सम्मुख भुजाओं और बराबर सम्मुख कोणों से यह सिद्ध होता है कि APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं। दर्शाइए कि

1. ΔAPB ≅ ΔCQD
2. AP = CQ

उत्तर: ΔAPB और ΔCQD में

∠ABP = ∠CDQ (एकांतर कोण)

AB = CD

∠APB = ∠CQD (समकोण)

इसलिए, ΔAPB ≅ ΔCQD

इसलिए, AP = CQ

प्रश्न 11: Δ ABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E, और F से जोड़ा जाता है। दर्शाइए कि

1. चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
2. चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
3. AD || CF और AD = CF है।
4. AC = DF है।
5. ΔABC ≅ ΔDEF है।

उत्तर: ΔABC और ΔDEF में

AB = DE (दिया गया है)

BC = EF (दिया गया है)

∠ABC = ∠DEF (AB||DE और BC||EF हैं)

इसलिए, ΔABC ≅ ΔDEF

चतुर्भुज ABED में

AB = ED

AB||ED

इसलिए, ABED एक समांतर चतुर्भुज है (सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर हैं)

इसलिए, BE||AD ------------ (1)

इसी तरह ACFD समांतर चतुर्भुज सिद्ध किया जा सकता है।

इसलिए, BE||CF ------------ (2)

समीकरण (1) और (2) से यह सिद्ध होता है कि:

AD||CF

इसलिए, AD = CF

इसी तरह हम सिद्ध कर सकते हैं:

AC = DF और AC||DF

प्रश्न 12: ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। दर्शाइए कि

1. ∠A = ∠B
2. ∠C = ∠D
3. ΔABC ≅ ΔBAD
4. विकर्ण AC = विकर्ण BD है।

(संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।

उत्तर: ΔBCE में

EC = AD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

AD = BC (दिया गया है)

इसलिए, BC = EC

इसलिए, ∠CBE = ∠CEB

∠CBE + ∠CBA = 180° (कोणों का रैखिक युग्म)

∠CEB + ∠DAB = 180° (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण)

∠CBE = ∠CEB रखने पर यह स्पष्ट हो जाता है

∠DBA = ∠CBA

अब, ∠DAB + ∠CDA = 180° (आसन्न कोण)

और, ∠CBA + ∠DCB = 180° (आसन्न कोण)

चूँकि ∠DBA = ∠CBA इसलिए यह स्पष्ट है ∠CDA = ∠DCB

ΔABC और ΔBAD में

AB = AB (साझा भुजा)

AD = BC (दिया गया है)

∠DBA = ∠CBA

इसलिए, ΔABC ≅ ΔBAD