त्रिभुज

अभ्यास 4

प्रश्न 1: दर्शाइए कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है।

उत्तर: किसी भी समकोण में कर्ण के सामने वाला कोण 90° होता है, जबकि अन्य कोण हमेशा 90° से कम होते हैं क्योंकि उनका योग 90° होता है। हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में सबसे बड़े कोण के सामने वाली भुजा सबसे लम्बी होती है। इसलिए समकोण त्रिभुज में कर्ण ही सबसे लम्बी भुजा होती है।

प्रश्न 2: दी गई आकृति में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिंदुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है। दर्शाइए कि AC > AB है।

उत्तर: ∠ABC = 180° - ∠PBC

∠ACB = 180° - ∠OCB

चूँकि ∠PBC < ∠OCB

इसलिए, ∠ABC > ∠ACB

हम जानते हैं छोटे कोण के सामने वाली भुजा की तुलना में बड़े कोण के सामने वाली भुजा लम्बी होती है। इसलिए, AC > AB

प्रश्न 3: दी गई आकृति में ∠B < ∠ A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि AD < BC है।

उत्तर: AO < BO (छोटे कोण के सामने वाली भुजा)

DO < CO (छोटे कोण के सामने वाली भुजा छोटी होती है।)

इसलिए, AO + DO < BO + CO

या, AD < BC

प्रश्न 4: AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ है। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है।

उत्तर: BD और AC दो कर्ण खींचिए।

ΔABD में, AB < AD < BD

इसलिए, ∠ADB < ∠ABD --------(1)

(छोटी भुजा के सामने का कोण छोटा होता है)

ΔBCD में, BC < DC < BD

इसलिए, ∠BDC<∠CBD ---------(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,

∠ADB + ∠BDC < ∠ABD + ∠CBD

या, ∠ADC < ∠ABC

इसी तरह, ΔABC में

∠BAC > ∠ACD ---------(3)

ΔADC में

∠DAC > ∠DCA --------(4)

समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर,

∠BAC + ∠DAC > ∠ACB + ∠DCA

या, ∠BAD > ∠BCD

प्रश्न 5: दी गई आकृति में, PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।

उत्तर: सबसे पहले इन कोणों के निम्नलिखित नाम रख लेते हैं:

∠PQR = 1

∠PRQ = 2

∠QPR = 3

∠QPS = 4

∠RPS = 5

∠PSQ = 6

∠PSR = 7

चूँकि PR > PQ

इसलिए, ∠1 > ∠2

ΔPQS में

∠1 + ∠4 + ∠6 = 180°

ΔPRS में

∠2 + ∠5 + ∠7 = 180°

दोनों त्रिभुज में

∠4 = ∠5

∠1 > ∠2

इसलिए कोणों का योग 180° करने के लिए निम्नलिखित हमेशा सत्य होगा:

∠6 < ∠7

प्रश्न 6: दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

उत्तर: एक रेखा खींचिए। उस पर किसी बिंदु से एक लम्ब डालिए। उसके बाद उसी बिंदु से रेखा के किसी भी अन्य बिंदु पर यदि रेखा खींची जाए तो एक समकोण त्रिभुज बनता है। ऐसे में बाहरी बिंदु से खींची गई दूसरी रेखा उस त्रिभुज का कर्ण होगी। कर्ण हमेशा लम्ब से लम्बी होती है।