त्रिभुज
अभ्यास 2
प्रश्न 1: एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि
- OB = OC
- AO कोण A को समद्विभाजित करता है।
उत्तर: ΔOBC में
∠OBC = ∠ OAC (ये कोण B और C के आधे हैं)
इसलिए, OB = OC (समान कोणों के सामने वाली भुजाएँ)
ΔAOB और ΔAOC में
AB = AC (दिया गया है)
OB = OC (पहले सिद्ध हो चुका है)
∠ABO = ∠ACO (ये कोण B और C के आधे हैं)
इसलिए, ΔAOB ≅ ΔAOC (SAS नियम)
इसलिए, ∠BAO = ∠CAO
इसका मतलब है ∠A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 2: ΔABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है। दर्शाइए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।
उत्तर: ΔABD में ΔACD में
AD = AD (साझा भुजा)
BD = CD (दिया गया है)
∠ADB = ∠ADC (समकोण)
इसलिए, ΔABD≅ ΔACD
इसलिए, AB = AC
यह सिद्ध हुआ कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 3: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमश: शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
उत्तर: ΔABE और ΔACF में
AB = AC (दिया गया है)
∠BAE = ∠CAF (साझा कोण)
∠CFA = ∠BEQ (समकोण)
इसलिए, ΔABE≅ ΔACF (ASA नियम)
इसलिए, BE = CF
प्रश्न 4: ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE और CF बराबर हैं। दर्शाइए कि
- ΔABE ≅ ΔACF
- AB = AC, अर्थात ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
(पिछले प्रश्न में दी गई आकृति)
उत्तर: इसे पिछले प्रश्न की तरह हल किया जा सकता है।
प्रश्न 5: ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।
उत्तर: ∠ABC = ∠ACB
∠DBC = ∠DCB
इसलिए, ∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB
या, ∠ABD = ∠ACD
प्रश्न 6: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
उत्तर: ΔADC और ΔABC में
AD = AB
AC = AC
∠ACB = ∠ABC
∠ACD = ∠ACD
ΔABC में, ∠ACB + ∠ABC + ∠CAB = 180°
या, ∠CAB = 180°-2∠ACB ----- (1)
इसी तरह, ΔADC में
∠DAC = 180° - 2∠ACD ------ (2)
चूँकि BD एक सरल रेखा है, इसलिए ∠CAB + ∠DAC=180°
इसलिए, समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
180° = 360° - 2∠ACB - 2∠ACD
या, 180° = 360° - 2(∠ACB + ∠ACD)
या, 2(∠ACB + ∠ACD) = 180°
या, ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD = 90°
प्रश्न 7: ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
उत्तर: यदि AB = AC इन भुजाओं के सामने के कोण बराबर होंगे। आप जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
इसलिए, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
या, 90° + ∠B + ∠C = 180°
या, ∠B + ∠C = 180° - 90° = 90°
या, ∠B = ∠C = 45°
प्रश्न 8: दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
उत्तर: हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने वाले कोण समान होते हैं। इसलिए समबाहु त्रिभुज की हर भुजा के सामने के कोण बराबर होंगे। इसलिए हर कोण का मान 180° का 1/3 भाग होगा, यानि 60° होगा।