त्रिभुज
अभ्यास 3
प्रश्न 1: ΔABD और ΔACD एक ही आधार पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि और भुजा के एक ही ओर स्थित हैं। यदि बढ़ाने पर को पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
- ΔABD ≅ ΔACD
- ΔABP ≅ ΔACP
- AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
- AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
उत्तर: ΔABD और ΔACD में
AB = AC
BD = CD
AD = AD
इसलिए, ΔABD≅ ΔACD (SSS नियम)
ΔABP और ΔACP में
AB = AC
AP = AP
∠ABP = ∠ACP (समान भुजाओं के सामने के कोण)
इसलिए, ΔABP≅ ΔCP (SAS नियम)
चूँकि ΔABP≅ ΔACP
इसलिए, ∠BAP = ∠CAP
इसलिए, ∠BAC को AP समद्विभाजित करता है।
इसी तरह, ΔBDP और ΔCDP सर्वांगसम सिद्ध किया जा सकता है और फिर यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि ∠BDC को AP समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 2: AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
- AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
- AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
उत्तर: इस प्रश्न को पिछले प्रश्न की तरह हल किया जा सकता है।
प्रश्न 3: एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं। दर्शाइए कि
- ΔABM ≅ ΔPQN
- ΔABC ≅ ΔPQR
उत्तर: ΔABM और ΔPQN में
AB = PQ
AM = PN
BM = QN (माध्यिका आधार को समद्विभाजित करती है।)
इसलिए, ΔABM≅ ΔPQN
ΔABC और ΔPQR में
AB = PQ
BC = QR
AC = PR (समान माध्यिका का मतलब है कि तीसरी भुजा बराबर होगी)
इसलिए, ΔABC≅ ΔPQR
प्रश्न 4: BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर: ΔAEB और ΔAFC में
BE = CE (लम्ब)
AB = BC (कर्ण)
इसलिए, ΔAEB≅ ΔAFC
प्रश्न 5: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।
उत्तर: AD ┴ BC खींचने पर,
ΔADC और ΔADB में
AC = AB
AD = AD
∠ADC = ∠ADB
इसलिए, ΔADC≅ ΔADB
इसलिए, ∠ACD = ∠ABC