वृत्त

अभ्यास 5

Part 3

प्रश्न 9: दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।

उत्तर: A से P मिलाते हुए जीवा AP खींचिए और फिर D से Q को मिलाते हुए जीवा DQ खींचिए।

जीव AP के लिए, ∠ACP = ∠PBA ………….(1)

(एक वृत्तखंड के कोण।)

इसी तरह जीवा DQ में, ∠DCQ = ∠DBQ …………(2)

हमारे पास यह भी है,

∠PBA = ∠DBQ (सम्मुख कोण) …………..(3)

समीकरण (1), (2) और (3) से,

∠ACP = ∠DCQ सिद्ध हुआ

प्रश्न 10: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।

उत्तर: ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB और AC उन वृत्तों के व्यास हैं जो परस्पर A और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।

∠ADC = ∠ADB = 90° (अर्धवृत्त के कोण)

चूँकि ∠ADC + ∠ADB = 180°

इसलिए, AB एक सरल रेखा।

इससे सिद्ध होता है कि बिंदु D रेखा AB पर स्थित है और यह दो वृत्तों के प्रतिच्छेद का बिंदु है।

प्रश्न 11: उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।

उत्तर: ABC और ADC समकोण त्रिभुज हैं जिनमें कर्ण AC उभयनिष्ठ है।

सिद्ध करना है ∠CAD = ∠CBD

जीव DC लीजिए,

∠CAD = ∠CBD

एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण्।

प्रश्न 12: सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

उत्तर: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण पूरक होते हैं।

यदि ∠1 और ∠2 बराबर हैं तो इससे कोई परेशानी नहीं है।

अब; ∠1 + ∠2 = 180°

हम यह भी जानते हैं कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

इसलिए, ∠1 = ∠2 = 90°

इससे यह सिद्ध होता है कि सभी कोण समकोण होते हैं।

इसलिए यह सिद्ध हुआ कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत है।