त्रिकोणमिति

अभ्यास 8.1 Part 3

प्रश्न 9: त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि `tan A=1/sqrt3` तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए। (i) `sin A cos C + cos A sin C` (ii) `cos A cos C-sin A sin C`

उत्तर:

`text(tan A)=1/sqrt3=p/b`

यानि, p = 1 और `b = sqrt3`

अब h का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इस तरह निकाला जा सकता है:

`h^2 = p^2 + b^2`

Or, `h^2 = 1^2 + (sqrt3)^2`

`= 1 + 3 = 4`

Or, `h = sqrt2=2`

(a) Sin A Cos C + Cos A Sin C

उत्तर: Sin A Cos C + Cos A Sin C

`=1/2xx1/2+sqrt3/2xxsqrt3/2`

`=1/4+3/4=1`

(नोट: कोण A के सामने की भुजा = कोण C की संगत भुजा, और कोण A की संगत भुजा = कोण C के सामने की भुजा)

(b) Cos A Cos C – Sin A Sin C

उत्तर: Cos A Cos C – Sin A Sin C

`=sqrt3/2xx1/2-1/2xxsqrt3/2=0`

प्रश्न 10: Δ PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR+OR=25 cm और PQ=5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है; PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm.

यहाँ, `PR = 25 – QR`

अब PR और QR का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इस तरह निकाला जा सकता है:

`PQ^2 = PR^2 – OR^2`

या, `5^2 = (25 – OR)^2 – OR^2`

या, `25 = 625 + OR^2 – 50OR – OR^2`

या, `25 = 625 – 50QR`

या, `50 QR = 625 – 25 = 600`

या, `QR = 12`

इसलिए, `PR = 25 – 12 = 13`

अब;

`text(sin P)=(QR)/(PR)=(12)/(13)`

`text(cos P)=(QP)/(PR)=(5)/(13)`

`text(tan P)=(QR)/(QP)=(12)/(5)`

प्रश्न 11: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।

उत्तर: असत्य: क्योंकि tan का मान जीरो से शुरु होता है और बढ़ते बढ़ते 1 से अधिक हो जाता है।

(ii) कोण A के किसी मान के लिए `secA=(12)/(5)`

उत्तर: सत्य: क्योंकि sec का मान हमेशा 1 से अधिक होता है।

(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।

उत्तर: असत्य, क्योंकि cosine का संक्षिप्त रूप cos होता है।

(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।

उत्तर: असत्य, क्योंकि cot A मतलब होता है कोण A का cotangent

(v) किसी भी कोण θ के लिए `sinθ=4/3`

उत्तर: असत्य, sin का मान 1 या 1 से कम होता है, जबकि यहाँ दिया गया मान 1 से अधिक है।