त्रिकोणमिति
अभ्यास 8.1 Part 2
प्रश्न 5: यदि `sec θ =(13)/(12)`, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
उत्तर:
`text(sec θ)=(13)/(12)=h/b`
इसका मतलब है, h = 13 और b = 12.
अब p का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इस तरह निकाला जा सकता है:
`p^2 = h^2 – b^2`
या, `p^2 = 13^2 – 12^2`
`= 169 – 144 = 25`
या, `p = 5`
अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान इस तरह निकाले जा सकते हैं:
`text(sin θ)=p/h=(5)/(13)`
`text(cos θ)=b/h=(12)/(13)`
`text(tan θ)=p/b=(5)/(12)`
`text(cosec θ)=h/p=(13)/(5)`
`text(cot θ)=b/p=(12)/(5)`
प्रश्न 6: यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B तो दिखाइए कि ∠A = ∠B
उत्तर: किसी भी दो अलग अलग कोणों के लिए cos का मान समान नहीं होता है। इसलिए cos A = cos B होने की स्थिति में ∠A = ∠B होगा।
प्रश्न 7: यदि, `cotθ =7/8` तो (i) `((1+sinθ)(1-sinθ))/((1+cosθ)(1-cosθ))` (ii) `cot^2θ` का मान निकालिए।
उत्तर: `text(cot θ)=7/8=b/p`
इसका मतलब है, b = 7 और p = 8.
अब h का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इस तरह निकाला जा सकता है:
`h^2 = p^2 + b^2`
या, `h^2 = 8^2 + 7^2`
`= 64 + 49 = 113`
या, `h = sqrt(113)`
(a) `((1+text(sin θ))(1-text(sin θ)))/((1+text(cos θ))(1-text(cos θ))`
उत्तर:
`((1+text(sin θ))(1-text(sin θ)))/((1+text(cos θ))(1-text(cos θ))`
`=(1-text(sin)^2θ)/(1-text(cos)^2θ)`
`=(1-(8/sqrt(113))^2)/(1-(7/sqrt(113))^2)`
`=(1-(64)/(113))/(1-(49)/(113))`
`=(113-64)/(113-49)=(49)/(64)`
(b) cot2 θ
उत्तर:
`text(cot)^2θ=(7/8)^2=(49)/(64)`
प्रश्न 8: यदि `3cot A=4`, तो जाँच कीजिए कि `(1-tan^2A)/(1+tan^2A)=cos^2A-sin^2A` है या नहीं।
उत्तर: 3 cot A = 4 का मतलब है cot A = 4/3 = b/p
इसलिए, p = 3 और b = 4.
अब h का मान पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इस तरह निकाला जा सकता है:
`h^2 = p^2 + b^2`
या, `h^2 = 3^2 + 4^2`
`= 9 + 16 = 25`
या, `h = 5`
अब दिए गए समीकरण को इस तरह से जाँचा जा सकता है:
`(1-text(tan)^2A)/(1+text(tan)^2A)`
`=(1-(3/4)^2)/(1+(3/4)^2`
`=(1-(9)/(16))/(1+(9)/(16))=(7)/(25)`
RHS:
`text(cos)^2A-text(sin)^2A`
`=(4/5)^2-(3/5)^2`
`=(16)/(25)-(9)/(25)=(7)/(25)`
यह स्पष्ट है कि LHS = RHS.