बहुपद

NCERT अभ्यास 2.3 Part 2

प्रश्न 3: `3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 15` के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक `sqrt(5/3)` और `-sqrt(5/3)` हैं।

उत्तर: किसी द्विघात बहुपद को नीचे दिये गये तरीके से लिखा जा सकता है।

`x^2` – (शून्यकों का योग)`x` + शून्यकों का गुणनफल
इसलिये दिये गये शून्यकों से निम्नलिखित द्विघात समीकरण बनता है:

`x^2-(sqrt(5/3)-sqrt(5/3))x+sqrt(5/3)xx\sqrt(-5/3)`

`=x^2-5/3`

इस बहुपद से दिये गये बहुपद को इस तरीके से भाग दिया जा सकता है।

इसलिए;
`3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 5`
`= (3x^2 – 5)(x^2 + 2x + 1)`

अब `x^2 + 2x + 1` के शून्यकों का पता इस तरह से लगाया जा सकता है:
`x^2 + 2x + 1 = 0`
या, `x^2 + x + x + 1 = 0`
या, `x(x + 1) + (x + 1) = 0`
या, `(x + 1)(x + 1) = 0`
इसलिये शून्यक = - 1 और – 1

प्रश्न 4: यदि `x^3 – 3x^2 + x + 2` एक बहुपद को `g(x)` से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: `x – 2` और `– 2x + 4` हैं तो `g(x)` ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गिये गये बहुपद में से शेषफल को घटाने पर;
`x^3 – 3x^2 + x + 2 – ( - 2x + 4)`
`= x^3 – 3x^2 + x + 2 + 2x – 4`
`= x^3 – 3x^2 + 3x – 2` …… (1)

समीकरण (1) को भागफल के दिये गये मान से भाग देने पर

इसलिये, `g(x) = x^2 – x + 1`

प्रश्न 5: बहुपदों `p(x)`, `g(x)`और `r(x)` के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात `p(x)` = घात `q(x)`
(ii) घात `q(x)` = घात `r(x)`
(iii) घात `r(x)= 0`

उत्तर: इन तीनों विकल्पों के कई उदाहरण हो सकते हैं। इनके एक एक उदाहरण इस प्रकार हैं:
(i) `p(x) = 2x^2 – 2x + 12`, `g(x) = 2`, `q(x) = x^2 – x + 6`, `r(x) = 0`
(ii) `p(x) = x^3 + x^2 + x + 1`, `g(x) = x^2 – 1`, `q(x) = x + 1`, `r(x) = 2x + 2`
(iii) `p(x) = x^3 + 2x^2 – x + 2`, `g(x) = x^2 – 1`, `q(x) = x + 2`, `r(x) = 4`