पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन

अभ्यास 13.3 Part 2

प्रश्न 5: व्यास 12 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम की ऊँचाई 12 सेमी और व्यास 6 सेमी वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।

उत्तर: बेलन की त्रिज्या = 6 cm, बेलन की ऊँचाई = 15 cm

शंकु की त्रिज्या = 3 cm, शंकु की ऊँचाई = 12 cm

आइसक्रीम के अर्धगोलाकार शीर्ष की त्रिज्या = 3 cm

बेलन का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx6^2xx15=540π cm^3`

शंकु का आयतन

`=(1)/(3)xxπxx3^2xx12`

`=36π cm^3`

अर्धगोले का आयतन

`=(2)/(3) πr^3`

`=(2)/(3)xxπxx3^3=18π cm^3`

आइसक्रीम का आयतन

`=(36+18) π=54π cm^3`

इसलिए, आइसक्रीम की संख्या = बेलन का आयतन/आइसक्रीम का आयतन

`=(540π)/(54π)=10`

प्रश्न 6: विमाओं 5.5सेमी `xx` 10 सेमी `xx` 3.5 सेमी वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 सेमी व्यास और 2 मिमी मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?

उत्तर: सिक्के की त्रिज्या = 0.875 cm, ऊँचाई = 0.2 cm

घनाभ की माप = 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm

सिक्के का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx0.875^2xx0.2`
`=0.48125 cm^3`

घनाभ का आयतन `=5.5xx1.xx3.5=192.5 cm^3`

सिक्कों की संख्या

`=(192.5)/(0.48125)=400`

प्रश्न 7: 32 सेमी ऊँची और आधार त्रिज्या 18 सेमी वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढ़ेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढ़ेरी की ऊँचाई 24 सेमी है, तो इस ढ़ेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बेलन की त्रिज्या = 18 cm, ऊँचाई = 32 cm

शंकु की ऊँचाई = 24 cm

बेलन का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx18^2xx32`

शंकु का आयतन = बेलन का आयतन

शंकु का आयतन

`=(1)/(3) πr^2xx24`

इसलिए शंकु की त्रिज्या:

`r^2=(3xxπxx18^2xx32)/( πxx24)`

Or, `r^2=18^2xx2^2`
Or, `r=36 cm`

अब शंक्वाकार ढ़ेर की तिर्यक ऊँचाई इस तरह निकाली जा सकती है:

`l=sqrt(h^2+r^2)`

`=sqrt(24^2+36^2)`

`=sqrt(576+1296)`

`=sqrt(1872)=36sqrt13 cm`

प्रश्न 8: 6 मी चौड़ी और 1.5 मी गहरी एक नहर में पानी 10 किमी प्रति घंटे की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 सेमी गहरे पानी की आवश्यकता होती है।

उत्तर: गहराई = 1.5 m, चौड़ाई = 6 m, पानी की गहराई = 0.08 m

30 मिनट में पानी की धार की लंबाई = 5 km = 5000 m

30 मिनट में पानी का आयतन `= 1.5 xx 6 xx 5000 = 45000` cubic m

`text(Area) = text(Volume)/(Height)`

`=(45000)/(0.08)=562500 m^2`

प्रश्न 9: एक किसान अपने खेत में बनी 10 मी व्यास वाली और 2 मी गहरी एक बेलनकाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 सेमी वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 किमी प्रति घंटे की चाल से बह रहा है तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी?

उत्तर: पाइप की त्रिज्या = 10 cm = 0.1 m, लंबाई = 3000 m/h

टंकी की त्रिज्या = 5 m, गहराई = 2 m

पाइप से 1 घंटे में निकलने वाले पानी का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx0.1^2xx3000`
`=30π m^3`

टंकी का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx5^2xx2=50π m^3`

टंकी को भरने में लगा समय = टंकी का आयतन/1 घंटे में पानी का आयतन

`=(50π)/(30π)=1 hr 40 mi\n`