पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन
अभ्यास 13.2 Part 1
प्रश्न 1: एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
उत्तर: त्रिज्या = 1 cm, ऊँचाई = 1 cm
अर्धगोले का आयतन
`=(2)/(3) πr^3`
`=(2)/(3) πxx1^3`
`=(2)/(3) π cm^3`
शंकु का आयतन
`=(1)/(3) πr^2h`
`=(1)/(3) πxx1^2xx1`
`=(1)/(3) π cm^3`
कुल आयतन
`=(2)/(3) π+(1)/(3) π=π cm^3`
प्रश्न 2: एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया है जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 सेमी है और इसकी लंबाई 12 सेमी है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)
उत्तर: बेलन की ऊँचाई = 12 – 4 = 8 cm, त्रिज्या = 1.5 cm, शंकु की ऊँचाई = 2 cm
बेलन का आयतन
`=πr^2h`
`=πxx1.5^2xx8=18π cm^3`
शंकु का आयतन
`=(1)/(3) πr^2h`
`=(1)/(3) πxx1.5^2xx2=1.5π cm^3`
कुल आयतन
`=1.5π+1.5π+18π=21π=66 cm^3`
प्रश्न 3: एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 सेमी और व्यास 2.8 सेमी है।
उत्तर: बेलन की लंबाई = 5 – 2.8 = 2.2 cm, त्रिज्या = 1.4 cm
बेलन का आयतन
`=πr^2h`
`=πxx1.4^2xx2.2`
`=4.312π cm^3`
दो अर्धगोलों का आयतन
`=(4)/(3) πr^3`
`=(4)/(3) πxx1.4^3`
`=(10.976)/(3) π cm^3`
कुल आयतन
`=4.312π+(10.976)/(3) π`
चाशनी का आयतन = कुल आयतन का 30%
`= π(4.312π+(10.976)/(3) π)xx30%`
`=(23.912)/(3)xx(30)/(100)xx(22)/(7)`
`=7.515 cm^3`
45 गुलाबजामुन में चाशनी का आयतन `= 45 xx 7.515 = 338.184` cm3
प्रश्न 4: एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढ़े बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 सेमी 10 सेमी 3.5 सेमी हैं। प्रत्येक गड्ढ़े की त्रिज्या 0.5 सेमी है और गहराई 1.4 सेमी है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर: घनाभ की विमाएँ = 15 cm x 10 cm x 3.5 cm, शंकु की त्रिज्या = 0.5 cm, शंकु की गहराई = 1.4 cm
घनाभ का आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= 15 x 10 x 3.5 = 525 cm3
शंकु का आयतन
`=(1)/(3) πr^2h`
`=(1)/(3)xx(22)/(7)xx0.5^2xx1.4`
`=(11)/(30) cm^3`
लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 6 x शंकु का आयतन
`=525-6xx(11)/(3)`
`=525-(11)/(5)=522.8 cm^3`