पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन

अभ्यास 13.2 Part 2

प्रश्न 5: एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 सेमी है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 सेमी है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती है, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शंकु की त्रिज्या = 5 cm, शंकु की ऊँचाई = 8 cm, गोले की त्रिज्या = 0.5 cm

शंकु का आयतन

`=(1)/(3) πr^2h`

`=(1)/(3) πxx5^2xx8`

`=(200)/(3) π cm^3`

गोली का आयतन

`=(4)/(3) πr^3`

`=(4)/(3) πxx0.5^3`

`=(1)/(6) π cm^3`

गोलियों की संख्या

`=(200)/(3) πxx(1)/(4)÷(1)/(6) π`

`=(50π)/(3)xx(6)/(π)=100`

प्रश्न 6: ऊँचाई 220 सेमी और आधार व्यास 24 सेमी वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 सेमी और त्रिज्या 8 सेमी वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 घन सेमी लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 ग्रा होता है।

उत्तर: बड़े बेलन की त्रिज्या = 12 cm, बड़े बेलन की ऊँचाई = 220 cm

छोटे बेलन की त्रिज्या = 8 cm, छोटे बेलन की ऊँचाई = 60 cm

बड़े बेलन का आयतन

`= πr^2h`
`=πxx12^2xx220`
`=31680π cm^3`

छोटे बेलन का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx8^2xx60`
`=3840π cm^3`

कुल आयतन

`=31680π+3840π=35520π cm^3`

द्रव्यमान = घनत्व x आयतन

`=8xx35520π`
`=892262.4 gm=892.3 kg`

प्रश्न 7: एक ठोस में, ऊँचाई 120 सेमी और त्रिज्या 60 सेमी वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी और और ऊँचाई 180 सेमी है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शंकु की त्रिज्या = 60 cm, शंकु की ऊँचाई = 120 cm

अर्धगोले की त्रिज्या = 60 cm

बेलन की त्रिज्या = 60 cm, बेलन की ऊँचाई = 180 cm

शंकु का आयतन

`= (1)/(3)πr^2h`

`=(1)/(3) πxx60^2xx120`

`=144000π cm^3`

अर्धगोले का आयतन

`=(2)/(3) πr^3`

`=(2)/(3) πxx60^3`

`=144000π cm^3`

ठोस का आयतन

`=(144000+144000) π=288000π cm^3`

बेलन का आयतन

`=πr^2h`
`=πxx60^2xx180`
`=648000π cm^3`

बेलन में बचे पानी का आयतन

`=(648000+288000) π=1130400 cm^3`

प्रश्न 8: एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 सेमी है और व्यास 2 सेमी है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 सेमी है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 घन सेमी है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है।

उत्तर: बेलन की त्रिज्या = 1 cm, बेलन की ऊँचाई = 8 cm, गोले की त्रिज्या = 8.5 cm

बेलन का आयतन

`= πr^2h`
`=πxx1^2xx8`
`=8π cm^3`

गोले का आयतन

`=(4)/(3) πr^3`

`=(4)/(3) πxx((8.5)/(2))^3`

`=(614125)/(6000) π cm^3`

कुल आयतन

`=((614125)/(6000)+8) π`

`=((614125+48000)/(6000)) π`

`=346.51 cm^3`