त्रिकोणमिति
अभ्यास 8.2 Part 2
प्रश्न 2: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:
(i) `(2tan30°)/(1+tan^2\30°)=?`
(A) sin 60o, (B) cos 60o, (C) tan 60o, (D) sin 30o
उत्तर: (A) sin 60o
Explanation:
`(2tan30°)/(1+tan^2\30°)`
`=(2xx1/sqrt3)/(1+(1/sqrt3)^2)`
`=(2/sqrt3)/(1+1/3)=2/sqrt3xx3/4`
`=sqrt3/2=sin60°`
(ii) `(1-tan^2\45°)/(1+tan^2\45°)=?`
(A) tan 90o, (B) 1, (C) sin 45o, (D) 0
उत्तर: (D) 0
Explanation:
`(1-tan^2\45°)/(1+tan^2\45°)`
`=(1-1)/(1+1)=0/2=0`
(iii) Sin 2A = 2 Sin A is true when A = ?
(A) 0o, (B) 30o, (C) 45o, (D) 60o
उत्तर: (A) 0o
`Sin 0° = 0` and `Sin 2 xx 0° = Sin 0° = 0`
`Sin 30° =1/4` But `Sin 2 xx 30° = Sin 60°` is not equal to Sin 30°. The same holds true for sin 45°.
(iv) `(2tan30°)/(1-tan^2\30°)=?`
(A) cos 60o, (B) sin 60o, (C) tan 60o, (D) sin 30o
उत्तर: (C) tan 60o
Explanation:
`(2tan30°)/(1-tan^2\30°)`
`=(2xx1/sqrt3)/(1-(1/sqrt3)^2)=(2/sqrt3)/(1-1/3)`
`=(2/sqrt3)/((3-1)/(3))=2/sqrt3xx3/2`
`=sqrt3=tan60°`
प्रश्न 3: यदि `tan(A+B)=sqrt3` और `tan(A-B)=1/sqrt3`, `0°<A+B≤90°`, `A>B` तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: हम जानते हैं:
`tan 60° = sqrt3`
इसलिए, `A + B = 60°`
इसी तरह;
`tan30°=1/sqrt3`
इसलिए, A – B = 30°
समीकरण (1) और (2)को जोड़ने पर:
`A+B+A-B=60°+30°`
या, `2A=90°`
या, `A=45°`
इसलिए, `B=60°-45°=15°`
प्रश्न 4: बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
उत्तर: असत्य, A और B के अलग-अलग मान लेते हुए इसे सिद्ध किया जा सकता है।
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: सत्य, sin θ का मान जीरो डिग्री के लिए जीरो होता है और बढ़ते-बढ़ते 90 डिग्री के लिए 1 हो जाता है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
उत्तर: असत्य, cos का मान जीरो डिग्री के लिए 1 होता है और घटते-घटते 90 डिग्री के लिए जीरो हो जाता है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
उत्तर: असत्य, केवल 45 डिग्री के लिए sin और cos के मान बराबर होते हैं।
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
उत्तर: सत्य