द्विघात समीकरण

अभ्यास 4.3

प्रश्न 1: यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(a) `2x^2 - 7x + 3 = 0`

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
`D = b^2 - 4ac`
`= (- 7)^2 - 4 xx 2 xx 3`
`= 49 – 24 = 25`

चूँकि D > 0, इसलिए इस समीकरण के दो अलग-अलग मूल संभव हैं।

अब समीकरण `2x^2 - 7x + 3 = 0` को निम्न तरीके से लिखा जा सकता है।
`x^2 - 7/2x + 3/2 = 0`
या, `x^2 - 2xx7/4x + 3/2 = 0`
या, `x^2 - 2xx7/4x = -3/2`
या, `x^2 - 2xx7/4x + (7/4)^2 = (7/4)^2 - 3/2`

यदि, `x = a` और `7/4 = b` को मान लें तो समीकरण के LHS को `(a – b)^2` के रूप में लिखा जा सकता है।
`(x – 7/4)^2 = (49)/(16) – 3/2`
या, `(x – 7/4)^2 = (49 – 24)/(16)`
या, `(x – 7/4)^2 = (25)/(16)`

केस 1:
या, `x – 7/4 = 5/4`
या, `x = 5/4 + 7/4 = (12)/(4) = 3`
केस 2:
या, `x – 7/4 = - 5/4`
या, `x = - 5/4 + 7/4`
या, `x = ( - 5 + 7)/4 = 2/4 = 1/2`
या, `x = 3` और `x =1/2`

(b) `2x^2 + x – 4 = 0`

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
`D = b^2 - 4ac`
`= 1^2 - 4 xx 2 xx (-4)`
`= 1 + 32 = 33`
चूँकि D > 0, इसलिए इस समीकरण के दो अलग-अलग मूल संभव हैं।

दिए गए समीकरण को 2 से भाग देने पर हमें निम्न समीकरण मिलता है।
`x^2 + x/2 – 2 = 0`
`x^2 + 2xx1/4x – 2 = 0`
`x^2 + 2xx1/4x = 2`
`x^2 + 2xx1/4x + (1/4)^2 = 2 + (1/4)^2`

यदि `x = a` और `1/4 = b` मान लें तो इस समीकरण को `(a + b)^2` के रूप में लिखा जा सकता है।
`(x + 1/4)^2 = 2 + (1)/(16)`
`(x + 1/4)^2 = (33)/(16)`
`x + 1/4 = ± sqrt(33)/4`
केस 1: `x = sqrt(33)/4 – 1/4 = (sqrt(33) – 1)/(4)`
केस 2: `x = - sqrt(33)/4 – 1/4 = - (sqrt(33) – 1)/(4)`

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच
हम जानते हैं;
`D = b^2 - 4ac`
`= (4sqrt3)^2 - 4 xx 4 xx 3`
`= 48 – 48 = 0`
चूँकि D = 0 है, इसलिए इस समीकरण के मूल संभव हैं।

दिए गए समीकरण को 4 से भाग देने पर निम्न समीकरण मिलता है।
`x^2 + sqrt3x + 1/4 = 0`
`x^2 + 2xx(sqrt3)/(2)x = - 1/4`
`x^2 + 2xx(sqrt3)/(2)x + (sqrt3/2)^2 = (sqrt3/2)^2 - 1/4`

इस समीकरण के LHS को `(a+b)^2` के रूप में लिखा जा सकता है।
`(x + sqrt3/2)^2 = 1/4 - 1/4 = 0`
`x + sqrt3/2 = 0`
`x = - sqrt3/2`

(d) `2x^2 + x + 4 = 0`

उत्तर: मूल के अस्तित्व की जाँच:
हम जानते हैं;
`D = b^2 - 4ac`
`= 1^2 - 4 xx 2 xx 4`
`= 1 – 32 = - 31`
चूँकि D < 0 है, इसलिए इस समीकरण के मूल संभव नहीं हैं।

प्रश्न 2: उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विधात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।

(a) `2x^2 - 7x + 3 = 0`

उत्तर: यहाँ पर, a = 2, b = - 7 और c = 3 है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`D = b^2 - 4ac`
`= (- 7)^2 - 4 xx 2 xx 3`
`= 49 – 24 = 25`

अब मूलों का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`α = ( - b + sqrt\D)/(2a)`
`= (7 + sqrt(25))/(2 xx 2)`
`= (7 + 5)/(4) = (12)/(4) = 3`
β `= ( - b - sqrtD)/(2a)`
`= (7 - sqrt(25))/(2 xx 2)`
`= (7 – 5)/(4) = 2/4 = 1/2`
इसलिए, मूलो के मान हैं; 3 और `1/2`

(b) `2x^2 + x – 4 = 0`

उत्तर: दिए गए समीकरण में a =2, b = 1 और c = -4
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
`D = b^2 - 4ac`
`= 1^2 - 4 xx 2 xx (-4)`
`= 1 + 32 = 33`

अब, मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`α = ( - b + sqrtD)/(2a)`
`= (- 1 + sqrt(33))/(4)`
`β = ( - b - sqrtD)/(2a)`
`= (- 1 - sqrt(33))/(4)`

उत्तर: दिए गए समीकरण में `a = 4`, `b = 4sqrt3` और `c = 3` है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`D = b^2 - 4ac`
`= (4sqrt3)^2 - 4 xx 4 xx 3`
`= 48 – 48 = 0`
अब, मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`= - b/(2a)`
`= - (4sqrt3)/(2 xx 4) = - sqrt3/2`

प्रश्न 3: निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(a) `x – 1/x = 3`, `x ≠ 0`

उत्तर: `x – 1/x = 3`
`(x^2 - 1)/x = 3`
`x^2 - 1 = 3x`
`x^2 - 3x – 1 = 0`

इस समीकरण में a = 1, b = - 3 और c = - 1 है।
अब, D का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
`D = b^2 - 4ac`
`= (-3)^2 - 4 xx 1 xx (-1)`
`= 9 + 4 = 13`
अब मूल का मान इस तरह से निकाला जा सकता है।
`α = (3 + sqrt(13))/2`
`β = (3 - sqrt(13))/2`

(b) `1/(x + 4) – 1/(x – 7) = (11)/(30)`, `x ≠ - 4`, 7

उत्तर: मूल का मान निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।

`1/(x+4)-1/(x-7)=(11)/(30)`

या, `(x-7-x-4)/((x+4)(x-7))=(11)/(30)`

या, `(-11)/((x+4)(x-7)=(11)/(30)`

या, `(x^2-7x+4x-28)/(30)=-1`

या, `x^2 - 3x – 28 = - 30`
या, `x^2 - 3x – 28 + 30 = 0`
या, `x^2 - 3x + 2 = 0`
या, `x^2 - 2x – x + 2 = 0`
या, `x(x – 2) – 1(x – 2) = 0`
या, `(x – 1)(x – 2) = 0`
इसलिए दिए गए समीकरण के मूल = 1 और 2।