द्विघात समीकरण

अभ्यास 4.2

प्रश्न 1: गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(a) `x^2 - 3x – 10 = 0`

उत्तर: `x^2 – 3x – 10 = 0`
या, `x^2 – 5x + 2x – 10 = 0`
या, `x(x – 5) + 2(x – 5) = 0`
या, `(x + 2)(x – 5) = 0`

अब, केस 1: `(x + 2) = 0`
या, `x = - 2`
केस 2: `(x – 5) = 0`
या, `x = 5`

इसलिए, समीकरण के मूल हैं: - 2 और 5

(b) `2x^2 + x – 6 = 0`

उत्तर: `2x^2 + x – 6 = 0`
या, `2x^2 + 4x – 3x – 6 = 0`
या, `2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0`
या, `(2x – 3)(x + 2) = 0`

केस 1: `(2x – 3) = 0`
या, `2x = 3`
या, `x = 3/2`
केस 2: `(x + 2) = 0`
या, `x = - 2`

इसलिए समीकरण के मूल हैं; – 2 और 3/2

उत्तर: `sqrt2x^2 + 7x + 5sqrt2 = 0`
या, `sqrt2x^2 + 2x + 5x + 5sqrt2 = 0`
या, `sqrt2x(x + sqrt2) + 5(x + sqrt2) = 0`
या, `(sqrt2x + 5)(x + sqrt2) = 0`

केस 1: `(sqrt2x + 5) = 0`
या, `sqrt2x = 5`
या, `x = - 5/sqrt2`
केस 2: `(x + sqrt2) = 0`
या, `x = - sqrt2`

इसलिए समीकरण के मूल हैं; `- 5/sqrt2` और `- sqrt2`

(d) `2x^2 - x + 1/8 = 0`

उत्तर: `2x^2 - x + 1/8 = 0`
या, `(16x^2 - 8x + 1)/8 = 0`
या, `16x^2 - 8x + 1 = 0`
या, `16x^2 - 4x – 4x + 1 = 0`
या, `16x(x – 1/4) – 4(x – 1/4) = 0`
या, `(16x – 4)(x – 1/4) = 0`

केस 1: `16x – 4 = 0`
या, `16x = 4`
या, `x = (4)/(16) = 1/4`
केस 2: `x – 1/4 = 0`
या, `x = 1/4`

इसलिए समीकरण का मूल है; `1/4`

(e) `100x^2 - 20x + 1 = 0`

उत्तर: `100x^2 – 20x + 1 = 0`
या, `100x^2 – 10x – 10x + 1 = 0`
या, `10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0`
या, `(10x – 1)(10x – 1) = 0`
इसलिए; `x = (1)/(10)`

प्रश्न 2: उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

(a) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुननफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

उत्तर: प्रश्न के अनुसार, जॉन और जीवंती के पास कंचों की कुल संख्या = 45
जब दोनों के पाँच कंचे गुम हो जाते हैं, तो कंचों की कुल संख्या = 45 – 5 – 5 = 35
मान लीजिए कि जॉनी के पास कंचों की संख्या = x
इसलिए जीवंती के पास कंचों की संख्या = 35 – x
प्रश्न के अनुसार, कंचे गुम हो जाने के बादे उनकी संख्या का गुणनफल = 124

इसलिए; `x(35 – x) = 124`
या, `35x – x^2 = 124`
या, `- x^2 + 35x – 124 = 0`
या, `x^2 – 35x + 124 = 0`
या, `x^2 – 4x – 31x + 124 = 0`
या, `x(x – 4) – 31 (x – 4) = 0`
या, `(x – 31)(x – 4) = 0`
इसलिए, `x = 31` और `x = 4`

इसलिए शुरु में एक के पास 36 कंचे थे और दूसरे के पास 9 कंचे थे।

(b) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपयों में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खैलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

उत्तर: मान लीजिए कि खिलौनों की संख्या = x
इसलिए प्रति खिलौने के निर्माण की लागत = x – 55
इसलिए, निर्माण की कुल लागत `= x(55 – x) = 750`
या, `55x – x^2 = 750`
या, `x^2 - 55x + 750 = 0`
या, `x^2 - 30x - 25x + 750 = 0`
या, `x(x - 30) – 25(x – 30) = 0`
या, `(x – 25)(x – 30) = 0`
इसलिए, `x = 25` और `x = 30`
खिलौनों की संख्या = 25 और 30

प्रश्न 3: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

उत्तर: मान लीजिए कि एक संख्या = x
इसलिए दूसरी संख्या = 27 – x
प्रश्न के अनुसार; `x(27 – x) = 182`
या, `27x – x^2 = 182`
या, `27x – x^2 – 182 = 0`
या, `x^2 – 27x + 182 = 0`
या, `x^2 – 14x – 13x + 182 = 0`
या, `x(x – 14) – 13(x – 14) = 0`
या, `(x – 13)(x – 14) = 0`
इसलिए, `x = 13` और `x = 14`
इसलिए अभीष्ट संख्या = 13 और 14

प्रश्न 4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

उत्तर: मान लीजिए कि पहला पूर्णांक = x
इसलिए दूसरा पूर्णांक = x + 1
प्रश्न के अनुसार; `x^2 + (x + 1)^2 = 365`
या, `x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365`
या, `2x^2 + 2x + 1 – 365 = 0`
या, `2x^2 + 2x – 364 = 0`
या, `x^2 + x – 182 = 0`
या, `x^2 + 14x – 13x – 182 = 0`
या, `x(x + 14) – 13(x + 14) = 0`
या, `(x – 13)(x + 14) = 0`
इसलिए, `x = 13` और `x = - 14`
चूँकि दिए गए पूर्णांक धनात्मक हैं, इसलिए अभीष्ट पूर्णांक = 13 और 14

प्रश्न 5: एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि आधार = x
इसलिए ऊँचाई = x – 7
प्रश्न के अनुसार; पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग द्वारा,
`13^2 = x^2 + (x – 7)^2`
या, `169 = x^2 + x^2 – 14x + 49`
या, `2x^2 – 14x + 49 – 169 = 0`
या, `2x^2 – 14x – 120 = 0`
या, `x^2 – 7x – 60 = 0`
या, `x^2 – 12x + 5x – 60 = 0`
या, `x(x – 12) + 5(x – 12) = 0`
या, `(x + 5)(x – 12) = 0`
इसलिए, `x = - 5` और `x = 12`
ऋणात्मक संख्या हटाने से; `x = 12`
इसलिए ऊँचाई `= 12 – 5 = 7`
इसलिए, त्रिभुज की दो भुजाएँ = 12 सेमी और 5 सेमी

प्रश्न 6: एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दोगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि एक दिन में बने बर्तनों की संख्या = x
इसलिए, प्रति नग निर्माण की लागत `= 2x + 3`
प्रश्न के अनुसार; `x(2x + 3) = 90`
या, `2x^2 + 3x = 90`
या, `2x^2 + 3x – 90 = 0`
या, `2x^2 – 12x + 15x – 90 = 0`
या, `2x(x – 6) + 15(x – 6) = 0`
या, `(2x + 15)(x – 6) = 0`
इसलिए, `x = - (15)/(2)` और `x = 6`
ऋणात्मक मान हटाने से; `x = 6`
इसलिए एक नग की लागत = 15 रु