वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

अभ्यास 12.3 Part 4

प्रश्न 13: दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

`BO^2 = OA^2 + OC^2`

`= 20^2 + 20^2`

या, `BO = 20sqrt2  cm` = वृत्त की त्रिज्या

क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल `= ¼ xx πr^2`

`= ¼ xx π xx (20sqrt2)^2 = 628  sq  cm`

वर्ग का क्षेत्रफल `= text(Side)^2 = 20^2 = 400  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 628 – 400 = 228  sq  cm`

प्रश्न 14: AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी और 7 सेमी वाले दो सकेंद्रीय वृत्तों के क्रमश: दो चाप हैं। यदि ∠AOB = 30° तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

`=(30°)/(360°)πxx21^2`

छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

`=(30°)/(360°)πxx7^2`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

`=(30°)/(360°)π(21^2-7^2)`

`=102(2)/(3) sq cm`

प्रश्न 15: दी गई आकृति में ABC त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल `= ¼ xx πr^2`

`= ¼ xx π xx 14^2 = 154  sq  cm`

त्रिभुज का क्षेत्रफल `= ½ xx b xx h`

`= ½ xx 14 xx 14 = 98  sq  cm`

त्रिभुज के विकर्ण द्वारा बने वृत्तखंड का क्षेत्रफल

`= 154 – 98 = 56  sq  cm`

बाहरी अर्धवृत्त का व्यास `= 14sqrt2` cm (क्योंकि त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की लंबाई 14 cm है)

इसलिए, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल `= ½ xx πr^2`

`= ½ xx π xx (14sqrt2)^2 = 154  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 154 – 56 = 98  sq  cm`

प्रश्न 16: दी गई आकृति में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल `= text(Side)^2 = 8^2 = 64  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= वर्ग के विकर्ण द्वारा बने वृत्तखंड के क्षेत्रफल का दोगुना

दो क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल `= ½ πr^2`

`= ½ xx π xx 8^2 = 100.48  sq  cm`

वर्ग का क्षेत्रफल = जीवा और त्रिज्या द्वारा बने दो त्रिभुजों का क्षेत्रफल

इसलिए, छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 100.48 – 64 = 36.48  sq  cm`