वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
अभ्यास 12.3 Part 4
प्रश्न 13: दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
BO2=OA2+OC2
=202+202
या, BO=20√2 = वृत्त की त्रिज्या
क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल = ¼ xx πr^2
= ¼ xx π xx (20sqrt2)^2 = 628 sq cm
वर्ग का क्षेत्रफल = text(Side)^2 = 20^2 = 400 sq cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 628 – 400 = 228 sq cm
प्रश्न 14: AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी और 7 सेमी वाले दो सकेंद्रीय वृत्तों के क्रमश: दो चाप हैं। यदि ∠AOB = 30° तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
=(30°)/(360°)πxx21^2
छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
=(30°)/(360°)πxx7^2
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
=(30°)/(360°)π(21^2-7^2)
=102(2)/(3) sq cm
प्रश्न 15: दी गई आकृति में ABC त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल = ¼ xx πr^2
= ¼ xx π xx 14^2 = 154 sq cm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ xx b xx h
= ½ xx 14 xx 14 = 98 sq cm
त्रिभुज के विकर्ण द्वारा बने वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= 154 – 98 = 56 sq cm
बाहरी अर्धवृत्त का व्यास = 14sqrt2 cm (क्योंकि त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की लंबाई 14 cm है)
इसलिए, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = ½ xx πr^2
= ½ xx π xx (14sqrt2)^2 = 154 sq cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 154 – 56 = 98 sq cm
प्रश्न 16: दी गई आकृति में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = text(Side)^2 = 8^2 = 64 sq cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग के विकर्ण द्वारा बने वृत्तखंड के क्षेत्रफल का दोगुना
दो क्वाड्रैंट का क्षेत्रफल = ½ πr^2
= ½ xx π xx 8^2 = 100.48 sq cm
वर्ग का क्षेत्रफल = जीवा और त्रिज्या द्वारा बने दो त्रिभुजों का क्षेत्रफल
इसलिए, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 100.48 – 64 = 36.48 sq cm