वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

अभ्यास 12.3 Part 1

प्रश्न 1: दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 23 सेमी, PR = 7 सेमी तथा O वृत्त का केंद्र है।

उत्तर: जब व्यास के दोनों सिरों से निकलने वाली रेखाएँ परिधि पर मिलती हैं तो आपस में समकोण बनाती हैं, इसलिए ∆PQR का विकर्ण OR है।

इसलिए, `OR^2 = PQ^2 + PR^2`

`= 24^2 + 7^2`

`= 576 + 49 = 625`

या, `OR = 25  cm`

या त्रिज्या = 12.5 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल `= ½ xx text(base) xx text(height)`

`= ½ xx 24 xx 7 = 84  sq  cm`

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल `= ½ xx πr^2`

`= ½ xx π xx 12.5^2 = 245.3125  sq  cm`

इसलिए छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 245.3125 – 84 = 161.3125 sq cm

प्रश्न 2: दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7 सेमी और 14 सेमी हैं तथा ∠AOC=40° है।

उत्तर: छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= बड़े वृत्तखंड का क्षेत्रफल – छोटे वृत्तखंड का क्षेत्रफल

यदि R और r दो त्रिज्याएँ हों, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल

`=(40°)/(360°)π(R^2-r^2)`

`=(1)/(9)xx(22)/(7)xx(14^2-7^2)`

`=51.33 sq cm`

प्रश्न 3: दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 सेमी का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल `= text(Side)^2 = 14^2 = 196  sq  cm`

दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल `= πr^2`

`= π xx 7^2 = 154  sq  cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 196 – 154 = 42  sq  cm`

प्रश्न 4: दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

उत्तर: त्रिभुज के बाहर के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

`=(300°)/(360°)πxx6^2`

`=94.28 sq cm`

त्रिभुज का क्षेत्रफल

`=(sqrt3)/(4)xxtext(side)^2`

`=(sqrt3)/(4)xx12^2`

`=62.352 sq cm`

छायांकित भाग का क्षेत्रफल `= 94.28 + 62.352 = 156.632  sq  cm`